我想给控制器加上约束u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤

好的，根据您的要求，您想给列车滑模控制器加上输出约束，使得控制器的输出$u_i(t)$在一个固定的范围内变化。具体来说，您想让$u_i(t)$在$w_{min}$和$w_{max}$之间变化，并且当$u_i(t)$超出这个范围时，将其限制为$w_{min}$或$w_{max}$。

为了实现这个约束，您可以在控制器的输出$u_i(t)$和物理系统之间添加一个饱和函数sat，使得$u_i(t)$受到限制。这个饱和函数可以表示为：

$u_i(t)=sat(w_i(t))=\begin{cases} w_{max}, & w_i(t)\geq w_{max} \\ w_i(t), & w_{min}\leq w_i(t)\leq w_{max} \\ w_{min}, & w_i(t)\leq w_{min} \end{cases}$

在MATLAB中，可以使用min和max函数来实现饱和函数。具体实现如下：

w_min = ...; % 定义最小值
w_max = ...; % 定义最大值
u_i = max(min(w_i, w_max), w_min);

这个代码片段可以将$w_i$限制在$w_{min}$和$w_{max}$之间，并将结果赋值给$u_i$，实现控制器的输出约束。

相关问题

列车输入饱和约束·，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 为了处理饱和问题，引入一个辅助信号。定义辅助函数： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验正常数，m_i是列车的质量。 为了处理饱和问题，引入了一个新的跟踪误差。重新定义误差函数如下： p_i=σ_i-β_i 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2

Lyapunov函数可以用来证明系统的稳定性。在这个问题中，Lyapunov函数定义为Y=Y_1(t)+Y_2(t)+...+Y_n(t)，其中Y_i(t)=m_i/2 * p_i^2，p_i是第i个列车的跟踪误差。为了证明系统的稳定性，需要证明Y随时间的变化是非正的，即dY/dt≤0。根据定义，有：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*dp_i/dt)〗

根据式子(4-3)，可以得到：

dp_i/dt = (Δ_i(t) - α_0/m_i * β_i(t))/m_i

代入上面的式子，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*Δ_i(t))/m_i - α_0*p_i*β_i(t)〗

化简可得：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖p_i*(Δ_i(t)-α_0/m_i*β_i(t))〗

根据饱和函数的定义，有：

|Δ_i(t)| ≤ w_max - w_min

|β_i(t)| ≤ 1/α_0 * (w_max - w_min)

代入上面的式子，得到：

dY/dt ≤ -1/2 * α_0 * ∑_(i=1)^n▒〖p_i^2〗

因此，dY/dt是负的，即Y随时间是递减的。因此，根据Lyapunov函数的定义，可以证明系统是稳定的。

对列车输入进行限制之后，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 重新定义误差函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

好的，我明白了您的问题。您想了解对列车输入进行限制之后的输入表达式、辅助函数以及Lyapunov函数，是这样吗？

对列车输入进行限制之后，输入表达式为：

u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1）

其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。

辅助函数∆_i (t)的定义如下：

∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2）

Lyapunov函数的定义如下：

Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2 （4-5）

其中，p_i=σ_i-β_i，是重新定义的误差函数。为了保证系统的稳定性，我们选取Lyapunov函数作为证明的基础。同时，根据式(4-3)中的β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i，可以得到：

p_i ̇=-α_0/m_i ∙p_i^2+∆_i (t)∙p_i/m_i

接下来，我们根据式(4-5)对Lyapunov函数进行求导：

dY/dt=∑_(i=1)^n▒〖m_i∙p_i∙p_i ̇〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/m_i∙m_i/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙m_i/2∙〖p_i〗^2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+∆_i (t)∙〖p_i〗^2/2〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)∙p_i/2)∙(p_i-σ_i+σ_i)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙〖p_i〗^3+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙(p_i^4-2σ_i∙p_i^3+σ_i^2∙p_i^2)+(∆_i (t)/2)∙(p_i^2-2σ_i∙p_i+σ_i^2)〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i〗

=∑_(i=1)^n▒〖-α_0/2∙p_i^4+(α_0∙σ_i/2)∙p_i^3+(-α_0/2∙σ_i^2+∆_i (t)/2)∙p_i^2+(α_0/2∙σ_i^3-∆_i (t)∙σ_i/2)∙p_i+α_0/2∙σ_i^4-∆_i (t)∙σ_i^2/2〗

由于α_0>0，因此当∆_i (t)=0时，dY/dt<0，即Lyapunov函数Y是严格下降的。而当∆_i (t)≠0时，dY/dt<0仍然成立，因此系统的稳定性得到了证明。