计算曲线积分∫ (xdy+ydx)/(x^2+y^2),其中曲线为{（x,y）|(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1}

### 回答1：
将曲线参数化为x=1+sec(t)，y=1+tan(t)，则

dy/dt = sec(t) tan(t) dt，dx/dt = sec(t)^2 dt

原积分可化为∫(dy/y^2)/(dx/x^2)，代入上述参数化式，

该积分的积分区间为t∈[0,2π]，计算得：

∫(xdy ydx)/(x^2 y^2) = ∫(dy/y^2)/(dx/x^2) = ∫(sec(t) tan(t) dt)/(sec(t)^4) = ∫(tan(t) dt)/(sec(t)^3)

= -1/2cos(t)^2∣∣∣0^2π = -1/2

故答案为-1/2。

### 回答2：
首先，我们来看一下给定的曲线方程{(x, y) | (x-1)^2 (y-1)^2 = 1}。观察曲线方程可以发现，它是一个双曲线的形状。对于双曲线的积分，我们可以使用参数方程进行处理。

我们可以设曲线的参数方程为x = 1 + secθ和y = 1 + tanθ，其中θ是一个参数。将这两个参数方程代入到曲线积分表达式中，即可得到新的曲线积分公式。

计算曲线积分∫ (xdy ydx)/(x^2 y^2)可以变为计算∫ [(1 + secθ) d(1 + tanθ) (1 + secθ) d(1 + tanθ)] / [(1 + secθ)^2 (1 + tanθ)^2]。

化简上式，我们可以得到∫ d(1 + tanθ) / (1 + secθ)。

对上式进行积分，我们可以得到∫ d(1 + tanθ) / (1 + secθ) = ln |1 + tanθ + secθ | + C，其中C是一个常数。

所以，给定曲线∫ (xdy ydx)/(x^2 y^2)，沿曲线{(x, y) | (x-1)^2 (y-1)^2 = 1}的曲线积分的结果为ln |1 + tanθ + secθ | + C。

### 回答3：
首先计算曲线参数化，设曲线为C，参数化为r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a,b]。

曲线的参数方程可以取为x(t) = 1 + cos(t)，y(t) = 1 +1/sin(t)，其中a≤t≤b。

计算曲线积分∫ (xdy + ydx)/(x^2 y^2)可以转换为计算∫ (xdy)/(x^2 y^2) + ∫ (ydx)/(x^2 y^2)两部分。

对于第一个部分∫ (xdy)/(x^2 y^2)，根据曲线C的参数化，可以得到dy = y'(t) dt = (cos(t)/sin^2(t)) dt。

将x代入并化简该积分：∫ (x(t) (cos(t)/sin^2(t))) dt = ∫ ((1 + cos(t)) (cos(t)/sin^2(t))) dt = ∫ (cos(t)/sin^2(t) + cos^2(t)/sin^2(t)) dt

使用三角恒等式将该积分化简为 ∫ (cot^2(t) + csc^2(t)) dt = ∫ csc^2(t) dt = -cot(t) + C。

对于第二个部分∫ (ydx)/(x^2 y^2)，同理可得dx = x'(t) dt = -sin(t) dt。

将y代入并化简该积分：∫ (y(t) (-sin(t))) dt = ∫ ((1 + 1/sin(t)) (-sin(t))) dt = ∫ (-1 - cos(t)) dt = -t - sin(t) + C。

综上所述，曲线积分∫ (xdy + ydx)/(x^2 y^2)等于 (-cot(t) -t - sin(t))∣a 到 b。

由于参数t的取值范围是[a,b]，而曲线C对应的参数取值范围是[t₁,t₂]，因此需要将(-cot(t) -t - sin(t))∣a 到 b用[t₁,t₂]来表示，即：

(-cot(t) -t - sin(t))∣a 到 b = (-cot(t) -t - sin(t))∣t₁ 到 t₂。

将参数方程x(t) = 1 + cos(t)，y(t) = 1 +1/sin(t)代入，并根据与曲线相关的参数范围[a,b]，计算（-cot(t) -t - sin(t))∣t₁ 到 t₂的值，即可得到最终结果。