令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。(b) 考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

(a) 首先将 $\mathrm{ARCH}$ 模型展开，得到
$$
Z_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2} \\
=a_t\sqrt{1+0.5\left(a_{t-1}\sqrt{1+0.5Z_{t-2}^2+0.3Z_{t-3}^2}\right)^2+0.3\left(a_{t-2}\sqrt{1+0.5Z_{t-3}^2+0.3Z_{t-4}^2}\right)^2}
$$
可以看出，$Z_t$ 不满足 ARMA 模型的形式，因为它不是线性的。同时，考虑 $X_t=Z_t^2$，则有
$$
X_t=Z_t^2=a_t^2(1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2)
$$
将其展开，得到
$$
X_t=a_t^2+0.5a_ta_{t-1}^2X_{t-1}+0.3a_ta_{t-2}^2X_{t-2}
$$
这个形式与 ARMA 模型类似，但是由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，所以 $a_t^2$ 不是常数，因此 $X_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。

(b) 类似地，将 $\mathrm{ARCH}$ 模型展开，得到
$$
Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) \\
=a_t\left(1+0.5a_{t-1}\left|1+0.5\left|Z_{t-2}\right|+0.3\left|Z_{t-3}\right|\right|+0.3a_{t-2}\left|1+0.5\left|Z_{t-3}\right|+0.3\left|Z_{t-4}\right|\right|\right)
$$
可以看出，$Z_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。同时，考虑 $X_t=\left|Z_t\right|$，则有
$$
X_t=\left|Z_t\right|=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right)
$$
将其展开，得到
$$
X_t=a_t+0.5a_ta_{t-1}X_{t-1}+0.3a_ta_{t-2}X_{t-2}
$$
这个形式与 ARMA 模型类似，但是由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，所以 $a_t$ 不是常数，因此 $X_t$ 也不满足 ARMA 模型的形式。