利用点到直线的距离最小二乘法_MIT线性代数笔记2.3(最小二乘)

利用点到直线的距离最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，它可以用于解决一些实际问题，如拟合数据点到一条直线的问题。

假设有一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$，我们想要用一条直线$y=a+bx$来拟合这些数据。显然，直线与数据点之间会存在误差，我们的目标就是让这些误差最小化。

我们可以定义每个数据点与直线之间的误差为垂直距离$d$，即：

$$d_i = \frac{|ax_i + by_i + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

其中$c=-1$，是为了让式子的形式更简洁。我们的目标就是让所有数据点到直线的垂直距离$d$的平方和最小化，即：

$$E(a,b) = \sum_{i=1}^n d_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(ax_i+by_i+c)^2}{a^2+b^2}$$

我们要求的就是使得$E(a,b)$最小的$a$和$b$。可以通过求解$E(a,b)$的偏导数来得到最小值。最终得到的直线方程为：

$$y = \bar{y} + b\frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}x$$

其中$\bar{x}$和$\bar{y}$分别为所有数据点的横坐标和纵坐标的平均值。

这就是利用点到直线的距离最小二乘法来拟合数据点到一条直线的方法。

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MIT 线性代数笔记

MIT线性代数笔记是一本关于线性代数的笔记，其中包含了方程组几何解释、矩阵消元、乘法和逆矩阵、A的LU分解、转置-转换-向量空间等内容。这本笔记的内容以PDF格式呈现。

在笔记中还介绍了矩阵与线性映射之间的关系，每个矩阵A对应一个从Rm到Rn的线性映射。我们可以对矩阵A进行化简，得到特征值构成的对角矩阵，从而得到不同基下的表示，这样可以简化问题或者看到问题的本质。

另外，笔记中还提到了特征值和特征向量的概念，即解耦和对角化的过程。

笔记中还涉及到矩阵ATy的运算，其中AT是矩阵A的转置，y是一个向量。这个运算可以表示为AT与y的乘积，求得的结果是一个向量。

最后，笔记中还介绍了基尔霍夫定律和投影的概念，基尔霍夫定律指出节点电流之和为0，投影是一种将一个向量映射到另一个向量的过程。

综上所述，MIT线性代数笔记是一本涵盖了方程组几何解释、矩阵消元、乘法和逆矩阵、A的LU分解、转置-转换-向量空间等内容的笔记，同时还介绍了矩阵与线性映射、特征值和特征向量、基尔霍夫定律、投影等概念。

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MIT线性代数课程是一门非常优秀的课程，以它的精细笔记而闻名于世。这门课程旨在教授学生一些基本的线性代数技能，并通过数学模型将这些技能应用到实际生活中。

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