已知三维空间点的坐标和法向量，对空间点和其法向量进行5次B样条插值，用matlab写出代码

假设已知的三维空间点坐标及法向量分别存储在 $P$ 和 $N$ 两个 $n \times 3$ 的矩阵中，其中 $n$ 表示点的数量。

首先，我们需要构造 B 样条基函数。这里我们使用经典的 Cox-de Boor 递推公式进行计算。具体实现如下：

function [N, U] = bspline_basis(u, k, t)
% u: 插值点的位置
% k: B样条的次数
% t: 节点向量
% N: B样条基函数值
% U: 扩展过的节点向量

n = numel(t) - k - 1; % B样条的数量
U = [t(1:k) u t(n+1:n+k)]; % 扩展节点向量

N = zeros(n, numel(u)); % 存储 B样条基函数值
for i = 1:numel(u)
    for j = 1:n
        if U(j) <= u(i) && u(i) < U(j+1)
            N(j,i) = 1;
        end
    end
end

for d = 2:k
    for j = 1:n
        if N(j,i) ~= 0
            alpha = (u(i) - U(j)) / (U(j+d-1) - U(j));
            N(j,i) = alpha * N(j,i-1) + (1-alpha) * N(j+1,i-1);
        end
    end
end
end

接下来，我们可以使用 B 样条插值方法对点和法向量进行插值。具体实现如下：

function [P_interpolated, N_interpolated] = bspline_interpolation(P, N, num_points, degree)
% P: 原始点的坐标 (n x 3)
% N: 原始点的法向量 (n x 3)
% num_points: 插值后的点数
% degree: B样条的次数

% 构造节点向量
n = size(P, 1);
t = linspace(0, 1, n+degree+1);
t = [zeros(1,degree) t(1:end-degree)];

% 构造插值点的位置
u = linspace(0, 1, num_points);

% 计算 B样条基函数
[Nu, U] = bspline_basis(u, degree, t); % 对点坐标插值
[Nn, ~] = bspline_basis(u, degree, t); % 对法向量插值

% 计算插值后的点坐标和法向量
P_interpolated = zeros(num_points, 3);
N_interpolated = zeros(num_points, 3);
for i = 1:3
    P_interpolated(:,i) = Nu * P(:,i);
    N_interpolated(:,i) = Nn * N(:,i);
end
end

这里我们使用了与点坐标插值相同的节点向量和 B 样条基函数对法向量进行插值。实际上，我们也可以使用不同的节点向量和 B 样条基函数对法向量进行插值，以达到更好的效果。