设系统的单位取样响应 ⁤h(n)=aⁿu(n),0<a<1,⁤，输入序列为 x(n)=δ(n)+2δ(n-2),完成下面各题: (1)求出系统输出序列y(n); (2)别离求出、h(n)和y(n)的傅里叶变换。

(1) 根据卷积的定义，系统输出序列为：

y(n) = x(n) * h(n) = δ(n) * h(n) + 2δ(n-2) * h(n)

对于第一项，由于 δ(n) 只在 n=0 时不为零，因此有：

δ(n) * h(n) = a⁰u(n) = u(n)

对于第二项，可以利用时移性质，将 2δ(n-2) * h(n) 写为 2δ(n) * h(n-2)，然后再利用线性性质，将其分解为两个单独的卷积：

2δ(n-2) * h(n) = 2δ(n) * h(n-2) = 2δ(n) * (h(n) * h(n-2))

由于 h(n) 和 h(n-2) 都是因果序列，因此它们的卷积可以写为：

h(n) * h(n-2) = ∑ᵢⱼ h(i)h(j-2)u(n-i-j+2)

将 i 替换为 i+2，得到：

h(n) * h(n-2) = ∑ᵢⱼ h(i+2)h(j)u(n-i-j+2)

根据这个式子，可以求出 2δ(n-2) * h(n) 的具体形式：

2δ(n-2) * h(n) = 2∑ᵢ h(i+2)h(n-i)

因此，系统的输出序列为：

y(n) = u(n) + 2∑ᵢ h(i+2)h(n-i)

将 h(n) 的具体形式代入，得到：

y(n) = u(n) + 2a²∑ᵢ aⁱ aⁿ⁻ⁱ = u(n) + 2a²∑ᵢ aⁱ aⁿ⁻ⁱ = u(n) + 2a² ∑ᵢ aⁿ = u(n) + 2a²/(1-a) (aⁿ-1)

(2) 根据 h(n) 的具体形式，可以求出其傅里叶变换：

H(e^(jω)) = ∑ₙ aⁿu(n) e^(-jωn) = 1/(1-ae^(-jω))

根据 y(n) 的具体形式，可以求出其傅里叶变换：

Y(e^(jω)) = U(e^(jω)) + 2a²/(1-a) ∑ₙ (a e^(-jω))ⁿ - 2a²/(1-a) ∑ₙ e^(-jωn)

其中 U(e^(jω)) 表示单位阶跃函数的傅里叶变换：

U(e^(jω)) = 1/(1-e^(-jω))

将 a e^(-jω) 替换为 z，得到：

Y(z) = 1/(1-z) + 2a²/(1-a) (1/(1-az) - 1/(1-z))

化简得：

Y(z) = (1-a)/(1-az)(1-z)

将 z 替换为 e^(jω)，得到：

Y(e^(jω)) = (1-a)/(1-ae^(-jω))(1-e^(-jω))