def linearRegCostFunction(X, y,theta, Lambda):

该函数是线性回归的代价函数，计算代价函数和梯度下降所需的梯度。其中参数解释如下：

- X：输入特征矩阵，大小为(m, n+1)，其中m为样本数，n为特征数，第一列为全1向量
- y：输出结果向量，大小为(m, 1)
- theta：参数向量，大小为(n+1, 1)
- Lambda：正则化参数

函数实现如下：

import numpy as np

def linearRegCostFunction(X, y, theta, Lambda):
    m = len(y)  # 样本数
    h = X.dot(theta)  # 计算预测结果
    J = 1 / (2 * m) * np.sum((h - y) ** 2) + Lambda / (2 * m) * np.sum(theta[1:] ** 2)  # 计算代价函数
    grad = 1 / m * X.T.dot(h - y) + Lambda / m * np.concatenate(([0], theta[1:]), axis=None)  # 计算梯度
    return J, grad

其中，np.concatenate(([0], theta[1:]), axis=None) 是为了将theta[0]的梯度项设为0，因为theta[0]不参与正则化。

相关问题

def lrCostFunction(theta, X, y, Lambda):

该函数是逻辑回归的代价函数，包括正则化项。其中，theta 表示逻辑回归模型的参数向量，X 表示特征矩阵，y 表示标签向量，Lambda 表示正则化参数。

具体实现如下：

import numpy as np

def sigmoid(z):
    """
    sigmoid 函数
    """
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def lrCostFunction(theta, X, y, Lambda):
    """
    逻辑回归的代价函数，包括正则化项
    """
    m = len(y)
    n = len(theta)
    
    # 计算代价函数
    h = sigmoid(X @ theta)
    J = (-y.T @ np.log(h) - (1 - y).T @ np.log(1 - h)) / m
    reg = Lambda / (2 * m) * (theta[1:] @ theta[1:].T)
    J += reg
    
    # 计算梯度
    grad = X.T @ (h - y) / m
    grad[1:] += Lambda / m * theta[1:]
    
    return J, grad

其中，sigmoid 函数表示逻辑回归模型的假设函数；代价函数 J 包括两部分，第一部分是未正则化的代价函数，第二部分是正则化项；梯度 grad 包括两部分，第一部分是未正则化的梯度，第二部分是正则化项的梯度。

def computeCost(X,y,theta):

该函数是用来计算线性回归模型的代价函数（cost function）的，其中：

- X：m×n 的特征矩阵，m 表示样本数，n 表示特征数；
- y：m×1 的目标变量矩阵；
- theta：(n+1)×1 的参数矩阵，其中第一个元素为截距项。

具体实现如下：

def computeCost(X, y, theta):
    """
    计算线性回归模型的代价函数

    参数：
    X -- m×n 的特征矩阵，m 表示样本数，n 表示特征数
    y -- m×1 的目标变量矩阵
    theta -- (n+1)×1 的参数矩阵，其中第一个元素为截距项

    返回：
    J -- 代价函数的值
    """

    m = X.shape[0]  # 样本数
    h = X.dot(theta)  # 线性模型预测值
    J = np.sum((h - y) ** 2) / (2 * m)  # 代价函数的计算公式

    return J

其中， `np.sum((h - y) ** 2)` 表示对所有样本的预测值和目标变量的差值的平方求和，再除以 `2m`，即为代价函数的值。