所有数字的乘积等于所有数字的异或
时间: 2023-05-29 19:07:43 浏览: 82
假设有 n 个数字,它们分别为 a1, a2, ..., an。
首先,考虑所有数字的乘积。它可以表示为:
a1 * a2 * ... * an
接下来,考虑所有数字的异或。它可以表示为:
a1 ^ a2 ^ ... ^ an
现在,我们需要证明它们相等。
我们可以将异或运算表示为二进制下的位异或。对于每个数字,我们将其转换为二进制表示,然后将所有数字的每个二进制位相加,得到一个新的二进制数。如果这个二进制数的某一位为奇数,则对应的乘积的这一位为 1,否则为 0。
因此,我们只需要证明所有数字的每个二进制位相加的结果等于所有数字的乘积的每个二进制位相加的结果。
假设所有数字的二进制表示中,第 i 位上有 k 个数字是 1。那么,所有数字的乘积中,第 i 位上的数字就是 1 的个数为 k 或者 k 的偶数。
现在,我们只需要证明所有数字的每个二进制位相加的结果等于所有数字的乘积的每个二进制位相加的结果,即:
k % 2 == (a1 * a2 * ... * an) 的第 i 位是 1 的个数 % 2
这个等式成立,因为在二进制下,异或运算等价于加法运算,而且一个奇数加上偶数等于奇数,两个奇数相加等于偶数,两个偶数相加等于偶数。
因此,所有数字的乘积等于所有数字的异或。
相关问题
给出一个正整数数组A,其中有多少子数组满足: 里面所有数字的乘积等于里面所有数字的异或。
首先,考虑到乘积和异或都有交换律和结合律,可以先将数组A中的0全部删除,这不会影响结果。
然后,注意到当子数组中有一个数为0时,乘积必定为0,而异或值为0的子数组必定由多个0构成。因此,只有当子数组中没有0时才有可能满足条件。
接着,考虑如何判断一个子数组是否满足条件。假设子数组为A[l:r],乘积为p,异或值为x,则有:
p = A[l] × A[l+1] × ... × A[r-1] × A[r]
x = A[l] ⊕ A[l+1] ⊕ ... ⊕ A[r-1] ⊕ A[r]
注意到p和x的位数相同,因此可以将它们分别转化为二进制表示。假设p和x的第i位分别为pi和xi,则有:
pi = 1 ⇔ Ai=0
pi = 0 ⇔ Ai≠0
xi = 1 ⇔ 仅有奇数个Ai为1
xi = 0 ⇔ 所有Ai均为偶数或全为0
因此,要满足条件,必须满足以下两个条件:
- 子数组中没有0;
- 子数组中每一位上1的个数要么为0,要么为奇数个。
对于第二个条件,可以使用前缀异或和的思想,在O(n)的时间内判断每一位上的1的个数是否为偶数。具体地,设B[i]表示A[0:i-1]的异或和,则B[r]⊕B[l-1]表示A[l:r]的异或和。对于第i位,若异或和中有偶数个1,则B[r]和B[l-1]在该位上的值相同;若异或和中有奇数个1,则B[r]和B[l-1]在该位上的值相反。
综上所述,可以使用两个指针l和r,表示当前子数组的左右端点。每次将r向右移动一位,同时更新乘积p和异或和x的值,直到子数组中出现了0或不满足第二个条件。此时,将l向右移动一位,同时更新乘积p和异或和x的值,直到满足第二个条件。在这个过程中,如果子数组满足条件,则将答案加1。最终的时间复杂度为O(n)。
给出一个正整数数组A,其中有多少子数组满足: 里面所有数字的乘积等于里面所有数字的异或的C++代码
int subarrayProductXOR(int[] A, int C) {
int n = A.length;
int[] prefixXOR = new int[n];
prefixXOR[0] = A[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
prefixXOR[i] = prefixXOR[i-1] ^ A[i];
}
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int product = A[i];
for (int j = i; j < n; j++) {
if (i == j && A[i] == C) {
count++;
} else {
product *= A[j];
int xor = prefixXOR[j] ^ prefixXOR[i];
if (product == xor * C) {
count++;
}
}
}
}
return count;
}