举例计算一个3乘3的相关系数

假设有一个 $3\times 3$ 的数据矩阵 $X$，其中每一行代表一个变量，每一列代表一个观测值。假设 $X$ 如下：

$$X=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}$$

首先，我们需要计算每个变量的平均值。对于 $X$，每个变量的平均值分别为：

$$\bar{x}_1=\frac{1+4+7}{3}=4, \quad \bar{x}_2=\frac{2+5+8}{3}=5, \quad \bar{x}_3=\frac{3+6+9}{3}=6$$

然后，我们需要计算每个变量的标准差。对于 $X$，每个变量的标准差分别为：

$$s_1=\sqrt{\frac{(1-4)^2+(4-4)^2+(7-4)^2}{3-1}}\approx 3.06,$$

$$s_2=\sqrt{\frac{(2-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2}{3-1}}\approx 3.06,$$

$$s_3=\sqrt{\frac{(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2}{3-1}}\approx 3.06$$

接下来，我们可以使用公式计算任意两个变量之间的相关系数。例如，计算变量 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的相关系数，可以按照以下步骤进行计算：

1. 计算 $x_1$ 和 $x_2$ 的协方差：

$$s_{12}=\frac{(1-4)(2-5)+(4-4)(5-5)+(7-4)(8-5)}{3-1}=-3$$

2. 计算 $x_1$ 和 $x_2$ 的标准差乘积：

$$s_1s_2\approx 3.06\times 3.06\approx 9.38$$

3. 计算 $x_1$ 和 $x_2$ 的相关系数：

$$r_{12}=\frac{s_{12}}{s_1s_2}=-\frac{3}{9.38}\approx -0.32$$

同样地，我们可以计算其他变量之间的相关系数。最终得到一个 $3\times 3$ 的相关系数矩阵：

$$R=\begin{pmatrix}
1 & -0.32 & -1 \\
-0.32 & 1 & 0.32 \\
-1 & 0.32 & 1 \\
\end{pmatrix}$$

注意，相关系数矩阵是一个对称矩阵，即 $r_{ij}=r_{ji}$。