以GGH密码体制为例，验证密钥生成、加密、解密、第三方破译

GGH密码体制是一种基于格的加密方案，下面分别介绍其验证密钥生成、加密、解密、以及第三方破译。

验证密钥生成：

1. 随机生成一个整数 $n$，满足 $n \in [0, q)$，其中 $q$ 是一个大素数。
2. 随机生成 $m$ 个向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m$，其中每个向量的元素都满足 $u_{i,j} \in [0, q)$。
3. 计算 $m \times m$ 的格基矩阵 $\mathbf{B}$，其中 $\mathbf{B}_{i,j} = \langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle$。
4. 判断 $\det(\mathbf{B}) \neq 0$。如果成立，则这个格是可约的，需要重新生成 $n, \mathbf{u}_1, \cdots, \mathbf{u}_m$；否则这个格是不可约的，可以用来进行加密和解密。

加密：

1. 随机生成一个长度为 $m$ 的向量 $\mathbf{r}$，其中每个元素都满足 $r_i \in [0, q)$。
2. 计算 $\mathbf{c} = n\mathbf{r} + \mathbf{mB}$，其中 $\mathbf{m}$ 是需要加密的明文向量。
3. 将 $\mathbf{c}$ 发送给接收方。

解密：

1. 计算 $\mathbf{v} = \mathbf{c} \bmod n$，其中 $\bmod$ 表示模运算。
2. 使用 LLL 算法对 $\mathbf{B}$ 进行约化，得到一个新的格基矩阵 $\mathbf{B'}$。
3. 计算 $\mathbf{v'} = \mathbf{v} \mathbf{B'}^{-1} \bmod q$。
4. 将 $\mathbf{v'}$ 解密为明文。

第三方破译：

1. 第三方截获了 $\mathbf{c}$。
2. 使用 LLL 算法对 $\mathbf{B}$ 进行约化，得到一个新的格基矩阵 $\mathbf{B'}$。
3. 计算 $\mathbf{v'} = \mathbf{c} \mathbf{B'}^{-1} \bmod q$。
4. 使用 $\mathbf{v'}$ 的信息尝试破解明文。由于 LLL 算法是一个近似算法，所以破解的成功率并不高。