证明有n个顶点的凸多边形三角剖分的方法数和n-1个矩阵相乘的方法数相同

这是一个有趣的问题。实际上，这两种方法数确实是相等的。我们可以通过将凸多边形三角剖分转换为完全二叉树的形式，然后使用矩阵树定理来证明它们相等。

具体地，我们可以将凸多边形三角剖分看作是完全二叉树，其中根节点对应整个多边形，每个内部节点对应一个三角形，每个叶子节点对应一个顶点。然后，我们可以将每个节点上下的两个子节点之间的边视为将三角形分成两部分的一条线段，这条线段既可以是剖分中出现的一条边，也可以是我们人为添加的一条虚拟边。

这样转换后，我们得到了一个无向图，其每个边都对应一个三角形之间的分割线段，而接下来我们可以使用矩阵树定理来计算这个无向图的生成树个数。因为这个无向图是一个完全图，所以我们可以通过对每条边进行缩放的方式，将其变成一个长度为1的边，然后使用拉普拉斯矩阵来计算生成树个数。具体来说，若无向图有n个顶点，则其拉普拉斯矩阵的各个元素可以表示为：

L(i,j) = deg(i) if i = j
L(i,j) = -1 if i和j之间有一条边
L(i,j) = 0 otherwise

这里，deg(i)表示节点i的度数。通过计算这个矩阵的任意(n-1)个顶点子矩阵的行列式，我们就可以得到生成树的个数。

同时，我们也可以将凸多边形三角剖分的方法数看作是将一个长度为n-2的矩阵乘积分解为若干个三角矩阵的方法数。这个问题可以使用动态规划的方式解决，具体来说，我们可以考虑一个DP转移方程：

f(i,j)表示从第i个矩阵乘积开始，到第j个矩阵乘积结束，所需的最少分割次数。这个DP方程的时间复杂度是O(n^3)。

综上所述，证明了有n个顶点的凸多边形三角剖分的方法数和n-1个矩阵相乘的方法数相同，而这个结论正是由于它们都等同于一个完全二叉树上生成树的数量。