由节点数 V=7，边数 E=8，能连接成图的环数和周长为多少？画出 各种周长时能连接成所有不同构的图及图所对应的运动链。

首先，由于 $E=8$，这个图肯定不是一个树，因为树必须满足 $E=V-1$。因此，这个图至少有一个环。

我们可以尝试枚举周长 $L$，从小到大计算有多少个不同构的图满足周长为 $L$。注意到周长为 $L$ 的图至少要有 $L/2$ 条边，因此我们只需要考虑 $L\leq 2V$ 的情况。

当 $L=3$ 时，只有一种图，即一个三角形。

当 $L=4$ 时，有两种图：一个正方形或者一个菱形。

当 $L=5$ 时，只有一种图，即一个五边形。

当 $L=6$ 时，有两种图：一个六边形或者一个由两个三角形组成的图。

当 $L=7$ 时，只有一种图，即一个由三个边长度相等的线段组成的图。

当 $L=8$ 时，有两种图：一个由四个边长度相等的线段组成的正方形，或者一个由一个三角形和一个五边形组成的图。

当 $L=9$ 时，只有一种图，即一个由三个四边形组成的图。

当 $L=10$ 时，有两种图：一个由五个边长度相等的线段组成的五边形，或者一个由一个六边形和一个四边形组成的图。

当 $L=11$ 时，只有一种图，即一个由五个边长度相等的线段和一个三角形组成的图。

当 $L=12$ 时，有两种图：一个由六个边长度相等的线段组成的六边形，或者一个由一个六边形和两个三角形组成的图。

当 $L=13$ 时，只有一种图，即一个由六个边长度相等的线段和一个五边形组成的图。

当 $L=14$ 时，有两种图：一个由七个边长度相等的线段组成的七边形，或者一个由一个七边形和一个正方形组成的图。

当 $L=15$ 时，只有一种图，即一个由七个边长度相等的线段和一个三角形组成的图。

当 $L=16$ 时，有两种图：一个由八个边长度相等的线段组成的八边形，或者一个由一个八边形和一个菱形组成的图。

当 $L=17$ 时，只有一种图，即一个由八个边长度相等的线段和一个五边形组成的图。

当 $L=18$ 时，只有一种图，即一个由九个边长度相等的线段组成的九边形。

当 $L=19$ 时，只有一种图，即一个由九个边长度相等的线段和一个三角形组成的图。

当 $L=20$ 时，只有一种图，即一个由十个边长度相等的线段组成的十边形。

因此，我们得到了所有可能的周长和对应的图。注意到对于周长相同的两个图，它们有可能是同构的（即通过旋转或翻转可以得到相同的图），也有可能不同构。因此，我们需要检查每个周长下所有不同构的图。

具体来说，我们可以从一个简单的图开始，然后枚举所有可能的边和节点的排列方式，判断它们是否构成了一个合法的图。如果是，我们就检查这个图是否与之前已经找到的图同构。如果不同构，我们就将这个图加入到当前周长下的图集合中。

最后，我们可以统计一下所有周长下不同构的图的数量，以及所有图中包含的环的数量。注意到一个包含 $n$ 个节点的环可以被看作是一个长度为 $n$ 的排列，因此总环数为：

$$
\sum_{n=3}^{7} \frac{(n-1)!}{2n} = \frac{1}{6}(2+3+4+5+6) = \frac{5}{3}
$$

其中 $(n-1)!/2n$ 表示长度为 $n$ 的排列中等价的排列数（即旋转和翻转后相同的排列数），除以 $2n$ 是为了去除相同的排列。

最后，我们可以将所有周长下的图和它们的运动链画出来，如下图所示（其中红色的线段表示当前运动链的位置）：


注意到这些图并不是全部不同构的图，因为有些图可以通过旋转和翻转得到相同的图。但是这些图可以代表所有不同构的图。