执行 X^5-7*X^4-X^2-9*X+9 的欧几里得除法 x ^2-5*X+4
时间: 2024-05-18 16:11:23 浏览: 19
好的,根据欧几里得除法的步骤,我们首先将除数 x^2 - 5x + 4 转化为其首项系数为 1 的形式,即 x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)。然后将被除式 X^5 - 7X^4 - X^2 - 9X + 9 按照次数从高到低排列,即:
X^5 - 7X^4 - X^2 - 9X + 9
现在我们将除数 (x - 1)(x - 4) 的每一个因式代入欧几里得除法的步骤中:
1. 将除数 x - 1 除以被除式 X^5 - 7X^4 - X^2 - 9X + 9,得到商为 X^4 - 6X^3 + 5X^2 - 4X - 5,余数为 -4X^2 - 5X + 14。
2. 将除数 x - 4 除以上一步的余数 -4X^2 - 5X + 14,得到商为 -4X^2 + 11X - 6,余数为 -3X + 33。
现在我们可以得到欧几里得除法的结果:
X^5 - 7X^4 - X^2 - 9X + 9 = (x - 1)(x - 4)(X^4 - 6X^3 + 5X^2 - 4X - 5) - (4X^2 + 5X - 14)(-4X^2 + 11X - 6) - 3X + 33
因此,X^5 - 7X^4 - X^2 - 9X + 9 除以 x ^2 - 5X + 4 的结果为 X^4 - 6X^3 + 5X^2 - 4X - 5 余 -3X + 33。
相关问题
在gf(3)上分解x^8-1
首先,我们可以将$x^8-1$因式分解为$(x^4+1)(x^4-1)$。
接下来,我们考虑在GF(3)上分解$x^4+1$和$x^4-1$。
对于$x^4+1$,我们可以使用求解二次剩余的方法来分解它。由于3是一个质数,我们可以使用欧拉判别法来判断2是否是二次剩余。根据欧拉判别法,$2^{\frac{3-1}{2}}\equiv 1 \pmod 3$,因此2是一个二次剩余。我们使用扩展欧几里得算法来求解2的平方根:
- $3 = 2 \times 1 + 1$
- $2 = 1 \times 2 + 0$
因此,$2^{-1} \equiv 2 \pmod 3$,$2^2 \equiv 1 \pmod 3$。因此,2在GF(3)中的一个平方根是2,另一个平方根是1+3=4。
因此,$x^4+1$在GF(3)上可以分解为$(x^2+2x+2)(x^2+x+2)$,其中2和4分别是$x^2+2x+2$和$x^2+x+2$的根。
对于$x^4-1$,我们可以使用差平方公式将其分解为$(x^2+1)(x^2-1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$。其中$x^2+1$和$x^2-1$可以进一步分解为$(x+1)(x-1)(x^2+2)$和$(x+1)(x-1)(x^2+1)$。
因此,$x^8-1$在GF(3)上可以分解为$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^2+2)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$。
f(x) = 7x^5 -4x^4 +4x-2, g(x) =3x^2 -4∈ F5[x],计算(f(x),g(x))并求s(x),t(x)使得 s(x)f(x) +t(x)g(x) = (f(x),g(x))。
根据欧几里得算法,我们有:
(f(x),g(x)) = ([7x^5 - 4x^4 + 4x - 2, 3x^2 - 4], [3x^2 - 4, 18x^3 - 28x^2 - 16x + 8], [-7x^3 + 11x^2 + 2, -2x^2 + x - 1], [2x^2 - x + 1, -x + 3])
因此,(f(x),g(x)) = 2x^2 - x + 1,而 s(x) = -7x^3 + 11x^2 + 2,t(x) = -2x^2 + x - 1。
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