问题 B: 01背包问题之2
时间: 2024-05-25 08:15:46 浏览: 25
题目描述
有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$,价值是 $w_i$。1<=N<=1000,1<=V<=1000,1<=vi,wi<=1000。
求将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数 $N$,$V$,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来 $N$ 行,每行两个整数 $v_i$,$w_i$,用空格隔开,分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
样例输入
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
样例输出
8
算法1
(01背包) $O(NV)$
状态表示:设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品,体积不超过 $j$ 的情况下的最大价值。
状态转移方程:$$ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) $$
时间复杂度:$O(NV)$
C++ 代码
算法2
(01背包+滚动数组) $O(NV)$
状态表示:设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品,体积不超过 $j$ 的情况下的最大价值。
状态转移方程:$$ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) $$
时间复杂度:$O(NV)$
C++ 代码
相关问题
01背包问题
01背包问题是一个经典的动态规划问题,它的问题描述如下:
有一个容量为C的背包和n个物品,每个物品有自己的重量w[i]和价值v[i]。要求选择几个物品装入背包,使得装入的物品总重量不超过背包容量,且总价值最大。
该问题可以采用动态规划来解决。具体的动态规划思路如下:
1. 定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品中,容量为j的背包所能达到的最大价值。
2. 初始化dp[0][j]和dp[i][0]均为0,表示没有物品或者背包容量为0时,所能达到的最大价值均为0。
3. 对于每一个物品i和背包容量j,分两种情况考虑:
a. 不选择第i个物品,则有 dp[i][j] = dp[i-1][j];
b. 选择第i个物品,则有 dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i] (前提是j>=w[i])。
4. 最终结果为dp[n][C],即前n个物品中,容量为C的背包所能达到的最大价值。
下面是一个简单的 Python 代码实现:
```
def knapsack(C, w, v):
n = len(w)
dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, C+1):
if j >= w[i-1]:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[n][C]
```
01背包问题算法设计
01背包问题是计算机科学中的一个经典问题,它属于动态规划(Dynamic Programming)的应用之一。在这个问题中,给定一组物品,每个物品有自己的价值和重量,还有一个容量限制的背包。目标是选择一些物品,使得它们的总价值最大,同时不超过背包的容量。
算法设计步骤如下:
1. 定义状态:通常用二维数组 `dp[i][w]` 表示前i个物品中,当背包容量为w时能够获得的最大价值。这里 `i` 从0到n-1,`w` 从0到背包容量。
2. 初始化状态:`dp[w] = 0`,因为没有物品时,价值为0。
3. 动态规划状态转移:对于第i个物品,有两种情况:
a) 如果不选这个物品(即背包容量不变),状态值为 `dp[i-1][w]`。
b) 如果选这个物品,则考虑两种情况:将当前物品放入背包,此时价值为 `dp[i-1][w-w_i] + v_i`(其中 `v_i` 是物品的价值,`w_i` 是物品的重量);如果不放,价值保持不变,即 `dp[i-1][w]`。
根据这两种情况取较大值,更新 `dp[i][w]`。
4. 最终结果:`dp[n-1][capacity]` 就是能获得的最大价值。
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