问题 B: 01背包问题之2

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。1<=N<=1000,1<=V<=1000,1<=vi,wi<=1000。

求将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数 $N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $v_i$，$w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

样例输入

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

样例输出

8

算法1

(01背包) $O(NV)$

状态表示：设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，体积不超过 $j$ 的情况下的最大价值。

状态转移方程：$$ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) $$

时间复杂度：$O(NV)$

C++ 代码

算法2

(01背包+滚动数组) $O(NV)$

状态表示：设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，体积不超过 $j$ 的情况下的最大价值。

状态转移方程：$$ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) $$

时间复杂度：$O(NV)$

C++ 代码

相关问题

c语言实现：输入背包容量，物品数量、价值及重量，利用动态规划法解决0-1背包问题

好的，我来给您讲解一下如何用动态规划法来解决0-1背包问题。

0-1背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品装入背包，在满足背包最大容量的前提下，使得背包中物品的总价值最大化。其中每个物品只能选择放或不放，不能进行部分放置。

我们可以用动态规划来解决0-1背包问题。具体步骤如下：

1. 定义状态：设f[i][j]为前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

2. 初始化状态：f[0][j]和f[i][0]均为0，表示前0个物品和容量为0时，所能获取的最大价值均为0。

3. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：

a. 不放入背包中：f[i][j] = f[i-1][j]

b. 放入背包中：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]

其中，w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

综上所述，状态转移方程为：

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]}

4. 最优解：最终的最大价值为f[n][C]，其中n为物品数量，C为背包容量。

下面是C语言的实现代码：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 1000
#define MAX_C 10000

int w[MAX_N], v[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_C];

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int n, C;
    scanf("%d%d", &n, &C);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= C; j++) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= w[i]) {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }

    printf("%d\n", f[n][C]);
    return 0;
}

希望能对您有所帮助，如有疑问请随时问我。

用C语言解决这个问题：用优先队列分支定界法解决01背包问题

### 回答1：
01背包问题是指有n件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是$w_i$，价值是$v_i$。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。这是一个典型的动态规划问题，可以用优先队列分支定界法求解。

以下是用C语言实现的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXN 100005

typedef struct node {
    int idx; // 物品编号
    int w;   // 物品重量
    int v;   // 物品价值
    double bound; // 松弛上界
} Node;

Node heap[MAXN]; // 优先队列
int cnt;         // 当前队列大小

int n;           // 物品数量
int V;           // 背包容量
int w[MAXN];     // 物品重量
int v[MAXN];     // 物品价值

int maxv;        // 最大价值
int curw;        // 当前重量

// 计算松弛上界
double bound(int i) {
    double ans = curw;
    int j;
    for (j = i; j <= n; j++) {
        if (ans + w[j] > V) {
            break;
        }
        ans += w[j];
    }
    if (j <= n) {
        ans += (V - ans) * (v[j] * 1.0 / w[j]);
    }
    return ans;
}

// 交换两个节点
void swap(Node *a, Node *b) {
    Node tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

// 向上调整节点
void siftup(int i) {
    while (i > 1 && heap[i].bound > heap[i / 2].bound) {
        swap(&heap[i], &heap[i / 2]);
        i /= 2;
    }
}

// 向下调整节点
void siftdown(int i) {
    int maxidx = i;
    if (2 * i <= cnt && heap[2 * i].bound > heap[maxidx].bound) {
        maxidx = 2 * i;
    }
    if (2 * i + 1 <= cnt && heap[2 * i + 1].bound > heap[maxidx].bound) {
        maxidx = 2 * i + 1;
    }
    if (maxidx != i) {
        swap(&heap[i], &heap[maxidx]);
        siftdown(maxidx);
    }
}

// 插入新节点
void insert(int idx) {
    double b = bound(idx);
    heap[++cnt].idx = idx;
    heap[cnt].w = w[idx];
    heap[cnt].v = v[idx];
    heap[cnt].bound = b;
    siftup(cnt);
}

// 弹出堆顶元素
int pop() {
    int ret = heap[1].idx;
    heap[1] = heap[cnt--];
    siftdown(1);
    return ret;
}

// 优先队列分支定界法
void dfs(int idx) {
    if (idx > n) {
        if (curw <= V && maxv < heap[1].bound) {
            maxv = heap[1].bound;
        }
        return;
    }
    insert(idx + 1); // 不选第idx件物品
    dfs(idx + 1);
    curw += w[idx];
    if (curw <= V) {
        insert(idx + 1); // 选第idx件物品
        dfs(idx + 1);
    }
    curw -= w[idx];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &V);
    int i;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }
    dfs(0);
    printf("%d\n", (int)maxv);
    return 0;
}

在这个代码中，我们使用了一个优先队列来维护当前所有未扩展的节点的松弛上界，以便进行分支定界。具体来说，每当我们需要扩展一个新节点时，我们计算该节点的松弛上界，并将其插入优先队列中。在搜索过程中，我们优先扩展松弛上界最大的节点，以期尽早找到最优解。

该算法的时间复杂度为$O(2^n)$，但可以通过多种优化手段（如限界函数的估计和剪枝等）来提高效率。

### 回答2：
优先队列分支定界法是一种解决优化问题的算法，可以用于求解01背包问题。下面是用C语言实现该算法的思路：

1. 首先，定义背包的容量和物品的数量，以及每个物品的重量和价值。将其存储在数组中。

2. 创建一个优先队列，用于存储搜索节点。节点包括当前物品的索引、当前背包已经装入的重量、当前背包的价值和当前剩余的价值上界。

3. 初始化优先队列，并将初始节点加入队列。初始化最大价值为0，并设置最大价值上界为当前物品的价值和剩余物品的总价值。

4. 进入循环，直到优先队列为空或者找到最优解。每次迭代时，从队列中取出一个节点。

5. 判断当前节点是否可以扩展。如果当前节点的剩余物品价值上界小于已经找到的最优解，则舍弃该节点。

6. 如果当前节点是一个叶子节点（即已经没有可选的物品），则更新最优解。

7. 否则，将当前物品放入背包中，并计算当前背包的重量和价值。计算剩余物品的总价值，并根据已经装入背包的重量和当前物品的重量，计算剩余物品的价值上界。

8. 创建两个子节点，分别是加入当前物品和不加入当前物品。将它们加入优先队列，并按照价值上界的大小进行排序。

9. 重复步骤4到步骤8，直到找到最优解或者队列为空。

10. 输出找到的最优解。

以上是用C语言解决01背包问题的优先队列分支定界法的思路。具体的实现需要使用C语言的数据结构和算法，并将算法步骤转化为相应的代码逻辑。