矩阵连乘问题的动态规划算法实现和效率分析

矩阵连乘问题可以使用动态规划算法求解。下面是动态规划算法的实现和效率分析。

1. 实现

假设矩阵连乘问题的矩阵序列为A1, A2, …, An，其中Ai的维度为pi-1 × pi。

(1) 定义状态

设m[i][j]表示Ai × Ai+1 × … × Aj的最小乘法次数。

(2) 初始化

当i=j时，m[i][j]=0。

(3) 转移方程

m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1×pk×pj}，其中i<=k<j。

(4) 最优解

最终的最小乘法次数为m[1][n]。

(5) 代码实现

下面是动态规划算法的代码实现：

int matrixChainOrder(int p[], int n) {
int m[n][n];
for (int i = 1; i < n; i++)
m[i][i] = 0;
for (int len = 2; len < n; len++) {
for (int i = 1; i < n - len + 1; i++) {
int j = i + len - 1;
m[i][j] = INT_MAX;
for (int k = i; k <= j - 1; k++) {
int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];
if (q < m[i][j])
m[i][j] = q;
}
}
}
return m[1][n - 1];
}

2. 效率分析

动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。其中，n为矩阵序列的长度。

在实际应用中，矩阵连乘问题的规模往往很大，因此动态规划算法的效率比暴力算法要高很多。