如何用内点法求解带有非线性约束的非线性双层规划问题
时间: 2024-05-25 16:11:53 浏览: 9
内点法是一种常用的求解优化问题的方法,可以用来求解带有非线性约束的非线性双层规划问题。具体步骤如下:
1. 将非线性约束转化为等式约束和不等式约束,得到以下形式的问题:
$$\begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n} \quad & f(x,z)\\ s.t. \quad & g_i(x,z) = 0, i = 1,\ldots,m\\ & h_j(x,z) \leq 0, j = 1,\ldots,p\\ & z \in \arg\min_{y\in \mathbb{R}^k} \{F(x,y) | g_i(x,y) = 0, i = 1,\ldots,m\} \end{aligned}$$
其中 $z$ 是双层规划问题中的内层变量。
2. 引入人为变量 $s$ 和 $t$,得到以下等价问题:
$$\begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n} \quad & f(x,z) + s\\ s.t. \quad & g_i(x,z) = 0, i = 1,\ldots,m\\ & h_j(x,z) \leq t, j = 1,\ldots,p\\ & z \in \arg\min_{y\in \mathbb{R}^k} \{F(x,y) + \frac{1}{\mu}\sum_{j=1}^p \ln(-h_j(x,y)-t)\} \end{aligned}$$
其中 $\mu$ 是一个大于零的常数,$t$ 是一个非负的人为变量。
3. 使用内点法求解上述等价问题。内点法是一种迭代算法,每次迭代都会求解一个线性规划问题,因此可以使用现有的线性规划求解器来实现。内点法的基本思想是在迭代过程中将可行集缩小到最优解的附近,从而达到求解最优解的目的。
4. 在内点法的迭代过程中,需要计算双层规划问题的梯度和黑塞矩阵。这可以通过对原问题进行求导得到,但是计算比较复杂。因此,可以使用自动微分技术来实现。
以上就是用内点法求解带有非线性约束的非线性双层规划问题的基本步骤。需要注意的是,内点法的收敛性和迭代次数与初始点的选择密切相关,因此需要选择一个合适的初始点来保证算法的收敛性和效率。
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