c++矩阵类利用增广矩阵实现矩阵求逆

好的，您的问题是如何使用增广矩阵来实现矩阵求逆。那么首先需要明确的是，只有方阵才具有逆矩阵，也就是说只有方阵才能使用矩阵求逆的方法。其次，使用增广矩阵来实现矩阵求逆是一种常见的方法，但是并不是唯一的方法。

具体实现的步骤如下：

1. 将原始矩阵 A 与单位矩阵 I 进行水平拼接，得到增广矩阵 B。
2. 对 B 进行初等行变换，将 B 转化为一个上三角矩阵。
3. 对 B 进行进一步的初等行变换，将 B 转化为一个对角线为 1 的矩阵。
4. 对 B 进行进一步的初等行变换，将 B 转化为一个下三角矩阵。
5. 将得到的下三角矩阵的右半部分截取下来，即为所求的矩阵 A 的逆矩阵。

需要注意的是，这种方法需要保证矩阵 A 是可逆的，即其行列式不为 0。否则，该方法将无法求得矩阵 A 的逆矩阵。另外，增广矩阵求逆的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 表示矩阵的阶数。

相关问题

c++利用类矩阵逆矩阵

要利用类实现矩阵逆矩阵的计算，需要以下步骤：

1. 定义一个矩阵类，包含矩阵的行数、列数和元素值等信息，以及实现矩阵加减、乘法、转置等基本运算。

2. 实现高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）求解矩阵的逆矩阵。具体步骤如下：

- 将原矩阵和单位矩阵按行拼接成增广矩阵；
- 对增广矩阵进行初等行变换，将其变为左半部分为单位矩阵的形式；
- 右半部分即为所求的逆矩阵。

3. 实现矩阵行列式的计算，以判断矩阵是否可逆。

下面是一个简单的示例代码，仅供参考：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class Matrix {
public:
    Matrix(int r = 0, int c = 0) : rows(r), cols(c), data(r * c) {}
    int rows, cols;
    vector<double> data;

    double& operator()(int i, int j) {
        return data[i * cols + j];
    }

    friend Matrix operator+(const Matrix& a, const Matrix& b);
    friend Matrix operator*(const Matrix& a, const Matrix& b);
    friend Matrix transpose(const Matrix& a);
    friend double det(const Matrix& a);
    friend Matrix inverse(const Matrix& a);
};

Matrix operator+(const Matrix& a, const Matrix& b) {
    Matrix c(a.rows, a.cols);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < a.cols; j++) {
            c(i, j) = a(i, j) + b(i, j);
        }
    }
    return c;
}

Matrix operator*(const Matrix& a, const Matrix& b) {
    Matrix c(a.rows, b.cols);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < b.cols; j++) {
            for (int k = 0; k < a.cols; k++) {
                c(i, j) += a(i, k) * b(k, j);
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix transpose(const Matrix& a) {
    Matrix b(a.cols, a.rows);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < a.cols; j++) {
            b(j, i) = a(i, j);
        }
    }
    return b;
}

double det(const Matrix& a) {
    if (a.rows != a.cols) {
        throw "not a square matrix";
    }
    int n = a.rows;
    Matrix b = a;
    double d = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int p = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (abs(b(j, i)) > abs(b(p, i))) {
                p = j;
            }
        }
        if (p != i) {
            swap(b.data.begin() + i * n, b.data.begin() + p * n);
            d = -d;
        }
        if (b(i, i) == 0) {
            return 0;
        }
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            double f = b(j, i) / b(i, i);
            for (int k = i; k < n; k++) {
                b(j, k) -= f * b(i, k);
            }
        }
        d *= b(i, i);
    }
    return d;
}

Matrix inverse(const Matrix& a) {
    if (a.rows != a.cols) {
        throw "not a square matrix";
    }
    int n = a.rows;
    Matrix b(n, 2 * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            b(i, j) = a(i, j);
        }
        b(i, n + i) = 1;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int p = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (abs(b(j, i)) > abs(b(p, i))) {
                p = j;
            }
        }
        if (p != i) {
            swap(b.data.begin() + i * 2 * n, b.data.begin() + p * 2 * n);
        }
        if (b(i, i) == 0) {
            throw "matrix is not invertible";
        }
        double f = b(i, i);
        for (int j = i; j < 2 * n; j++) {
            b(i, j) /= f;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                f = b(j, i);
                for (int k = i; k < 2 * n; k++) {
                    b(j, k) -= f * b(i, k);
                }
            }
        }
    }
    Matrix c(n, n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            c(i, j) = b(i, n + j);
        }
    }
    return c;
}

int main() {
    Matrix a(3, 3);
    a(0, 0) = 2; a(0, 1) = 1; a(0, 2) = 1;
    a(1, 0) = 4; a(1, 1) = -6; a(1, 2) = 0;
    a(2, 0) = -2; a(2, 1) = 7; a(2, 2) = 2;
    cout << "A =\n" << a.data[0] << " " << a.data[1] << " " << a.data[2] << "\n"
         << a.data[3] << " " << a.data[4] << " " << a.data[5] << "\n"
         << a.data[6] << " " << a.data[7] << " " << a.data[8] << endl;
    cout << "det(A) = " << det(a) << endl;
    Matrix b = inverse(a);
    cout << "A^-1 =\n" << b.data[0] << " " << b.data[1] << " " << b.data[2] << "\n"
         << b.data[3] << " " << b.data[4] << " " << b.data[5] << "\n"
         << b.data[6] << " " << b.data[7] << " " << b.data[8] << endl;
    Matrix c = a * b;
    cout << "A * A^-1 =\n" << c.data[0] << " " << c.data[1] << " " << c.data[2] << "\n"
         << c.data[3] << " " << c.data[4] << " " << c.data[5] << "\n"
         << c.data[6] << " " << c.data[7] << " " << c.data[8] << endl;
    return 0;
}

这段代码定义了一个矩阵类 Matrix，包含了矩阵的基本运算和逆矩阵计算。在 main 函数中，我们定义了一个 3x3 的矩阵 A，计算其行列式和逆矩阵，并验证 A 乘以 A 的逆矩阵是否得到单位矩阵。注意，这里的逆矩阵计算使用的是高斯-约旦消元法，而不是传统的伴随矩阵法，因为前者更简单、更高效。

用C++写一个求矩阵的逆矩阵的算法，其中，输入参数为原矩阵A，输出参数为原矩阵的逆矩阵B

好的，以下是一个用C语言实现的求矩阵的逆矩阵的算法，算法采用高斯-约旦消元法：

#include <stdio.h>

#define N 3 // 矩阵维数

// 打印矩阵
void print_matrix(double matrix[N][N]) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            printf("%.2f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

// 高斯-约旦消元法求逆矩阵
int inverse_matrix(double matrix[N][N], double inverse[N][N]) {
    // 构造增广矩阵
    double augment[N][2 * N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            augment[i][j] = matrix[i][j];
            augment[i][j + N] = i == j ? 1.0 : 0.0;
        }
    }

    // 消元过程
    for (int k = 0; k < N; k++) {
        double pivot = augment[k][k];
        if (pivot == 0.0) {
            return 1; // 矩阵不可逆
        }
        for (int j = 0; j < 2 * N; j++) {
            augment[k][j] /= pivot;
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (i == k) {
                continue;
            }
            double factor = augment[i][k];
            for (int j = 0; j < 2 * N; j++) {
                augment[i][j] -= factor * augment[k][j];
            }
        }
    }

    // 提取逆矩阵
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            inverse[i][j] = augment[i][j + N];
        }
    }

    return 0; // 成功
}

int main() {
    double matrix[N][N] = {{1.0, 2.0, 3.0},
                           {2.0, 4.0, 5.0},
                           {3.0, 5.0, 6.0}};
    double inverse[N][N];

    printf("原矩阵:\n");
    print_matrix(matrix);

    if (inverse_matrix(matrix, inverse) == 0) {
        printf("逆矩阵:\n");
        print_matrix(inverse);
    } else {
        printf("矩阵不可逆\n");
    }

    return 0;
}

在这个代码中，我们首先定义了一个 `print_matrix` 函数，用于打印矩阵。接着，我们定义了一个 `inverse_matrix` 函数，用于求矩阵的逆矩阵。该函数的输入参数为原矩阵 `matrix`，输出参数为逆矩阵 `inverse`。该函数的实现采用了高斯-约旦消元法。最后，我们在 `main` 函数中调用 `inverse_matrix` 函数并打印结果。

注意，由于矩阵的可逆性与行列式的值有关，我们在实现中没有直接判断矩阵是否可逆，而是通过返回值来表示操作是否成功。如果返回值为 0，则表示操作成功，逆矩阵存储在 `inverse` 中；如果返回值为 1，则表示矩阵不可逆。