c++矩阵类利用增广矩阵实现矩阵求逆

好的，您的问题是如何使用增广矩阵来实现矩阵求逆。那么首先需要明确的是，只有方阵才具有逆矩阵，也就是说只有方阵才能使用矩阵求逆的方法。其次，使用增广矩阵来实现矩阵求逆是一种常见的方法，但是并不是唯一的方法。

具体实现的步骤如下：

1. 将原始矩阵 A 与单位矩阵 I 进行水平拼接，得到增广矩阵 B。
2. 对 B 进行初等行变换，将 B 转化为一个上三角矩阵。
3. 对 B 进行进一步的初等行变换，将 B 转化为一个对角线为 1 的矩阵。
4. 对 B 进行进一步的初等行变换，将 B 转化为一个下三角矩阵。
5. 将得到的下三角矩阵的右半部分截取下来，即为所求的矩阵 A 的逆矩阵。

需要注意的是，这种方法需要保证矩阵 A 是可逆的，即其行列式不为 0。否则，该方法将无法求得矩阵 A 的逆矩阵。另外，增广矩阵求逆的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 表示矩阵的阶数。

相关问题

c++利用类矩阵逆矩阵

要利用类实现矩阵逆矩阵的计算，需要以下步骤：

1. 定义一个矩阵类，包含矩阵的行数、列数和元素值等信息，以及实现矩阵加减、乘法、转置等基本运算。

2. 实现高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）求解矩阵的逆矩阵。具体步骤如下：

- 将原矩阵和单位矩阵按行拼接成增广矩阵；
- 对增广矩阵进行初等行变换，将其变为左半部分为单位矩阵的形式；
- 右半部分即为所求的逆矩阵。

3. 实现矩阵行列式的计算，以判断矩阵是否可逆。

下面是一个简单的示例代码，仅供参考：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class Matrix {
public:
    Matrix(int r = 0, int c = 0) : rows(r), cols(c), data(r * c) {}
    int rows, cols;
    vector<double> data;

    double& operator()(int i, int j) {
        return data[i * cols + j];
    }

    friend Matrix operator+(const Matrix& a, const Matrix& b);
    friend Matrix operator*(const Matrix& a, const Matrix& b);
    friend Matrix transpose(const Matrix& a);
    friend double det(const Matrix& a);
    friend Matrix inverse(const Matrix& a);
};

Matrix operator+(const Matrix& a, const Matrix& b) {
    Matrix c(a.rows, a.cols);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < a.cols; j++) {
            c(i, j) = a(i, j) + b(i, j);
        }
    }
    return c;
}

Matrix operator*(const Matrix& a, const Matrix& b) {
    Matrix c(a.rows, b.cols);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < b.cols; j++) {
            for (int k = 0; k < a.cols; k++) {
                c(i, j) += a(i, k) * b(k, j);
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix transpose(const Matrix& a) {
    Matrix b(a.cols, a.rows);
    for (int i = 0; i < a.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < a.cols; j++) {
            b(j, i) = a(i, j);
        }
    }
    return b;
}

double det(const Matrix& a) {
    if (a.rows != a.cols) {
        throw "not a square matrix";
    }
    int n = a.rows;
    Matrix b = a;
    double d = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int p = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (abs(b(j, i)) > abs(b(p, i))) {
                p = j;
            }
        }
        if (p != i) {
            swap(b.data.begin() + i * n, b.data.begin() + p * n);
            d = -d;
        }
        if (b(i, i) == 0) {
            return 0;
        }
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            double f = b(j, i) / b(i, i);
            for (int k = i; k < n; k++) {
                b(j, k) -= f * b(i, k);
            }
        }
        d *= b(i, i);
    }
    return d;
}

Matrix inverse(const Matrix& a) {
    if (a.rows != a.cols) {
        throw "not a square matrix";
    }
    int n = a.rows;
    Matrix b(n, 2 * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            b(i, j) = a(i, j);
        }
        b(i, n + i) = 1;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int p = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (abs(b(j, i)) > abs(b(p, i))) {
                p = j;
            }
        }
        if (p != i) {
            swap(b.data.begin() + i * 2 * n, b.data.begin() + p * 2 * n);
        }
        if (b(i, i) == 0) {
            throw "matrix is not invertible";
        }
        double f = b(i, i);
        for (int j = i; j < 2 * n; j++) {
            b(i, j) /= f;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                f = b(j, i);
                for (int k = i; k < 2 * n; k++) {
                    b(j, k) -= f * b(i, k);
                }
            }
        }
    }
    Matrix c(n, n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            c(i, j) = b(i, n + j);
        }
    }
    return c;
}

int main() {
    Matrix a(3, 3);
    a(0, 0) = 2; a(0, 1) = 1; a(0, 2) = 1;
    a(1, 0) = 4; a(1, 1) = -6; a(1, 2) = 0;
    a(2, 0) = -2; a(2, 1) = 7; a(2, 2) = 2;
    cout << "A =\n" << a.data[0] << " " << a.data[1] << " " << a.data[2] << "\n"
         << a.data[3] << " " << a.data[4] << " " << a.data[5] << "\n"
         << a.data[6] << " " << a.data[7] << " " << a.data[8] << endl;
    cout << "det(A) = " << det(a) << endl;
    Matrix b = inverse(a);
    cout << "A^-1 =\n" << b.data[0] << " " << b.data[1] << " " << b.data[2] << "\n"
         << b.data[3] << " " << b.data[4] << " " << b.data[5] << "\n"
         << b.data[6] << " " << b.data[7] << " " << b.data[8] << endl;
    Matrix c = a * b;
    cout << "A * A^-1 =\n" << c.data[0] << " " << c.data[1] << " " << c.data[2] << "\n"
         << c.data[3] << " " << c.data[4] << " " << c.data[5] << "\n"
         << c.data[6] << " " << c.data[7] << " " << c.data[8] << endl;
    return 0;
}

这段代码定义了一个矩阵类 Matrix，包含了矩阵的基本运算和逆矩阵计算。在 main 函数中，我们定义了一个 3x3 的矩阵 A，计算其行列式和逆矩阵，并验证 A 乘以 A 的逆矩阵是否得到单位矩阵。注意，这里的逆矩阵计算使用的是高斯-约旦消元法，而不是传统的伴随矩阵法，因为前者更简单、更高效。

c++利用重载实现矩阵除法

在 C++ 中实现矩阵除法可以使用运算符重载。我们可以重载除法运算符（/）来实现矩阵除法。假设我们有两个矩阵 A 和 B，它们的维度分别为 m × n 和 n × p。则矩阵除法 C = A / B 的结果为矩阵 C，其维度为 m × p，满足 C = A * B^-1。

以下是一个示例代码，通过重载 / 运算符实现矩阵除法：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 矩阵类
class Matrix {
public:
    // 构造函数
    Matrix(int r, int c) {
        rows = r;
        cols = c;
        data.resize(rows);
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            data[i].resize(cols);
        }
    }

    // 重载 () 运算符，用于访问矩阵的元素
    double& operator()(int i, int j) {
        return data[i][j];
    }

    // 重载 / 运算符，实现矩阵除法
    Matrix operator/(Matrix& B) {
        int m = rows;
        int n = cols;
        int p = B.cols;
        Matrix C(m, p);
        Matrix B_inv = B.inverse();  // 求逆矩阵
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < p; j++) {
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    C(i, j) += (*this)(i, k) * B_inv(k, j);
                }
            }
        }
        return C;
    }

    // 求逆矩阵
    Matrix inverse() {
        int n = rows;
        Matrix A(n, 2 * n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                A(i, j) = (*this)(i, j);
            }
            A(i, i + n) = 1;  // 初始化增广矩阵
        }
        // 高斯-约旦消元法求逆矩阵
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (A(i, i) == 0) {
                return Matrix(0, 0);  // 矩阵不可逆
            }
            for (int j = 0; j < 2 * n; j++) {
                if (j != i) {
                    double ratio = A(j, i) / A(i, i);
                    for (int k = 0; k < 2 * n; k++) {
                        A(j, k) -= ratio * A(i, k);
                    }
                }
            }
        }
        // 归一化处理
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double ratio = 1 / A(i, i);
            for (int j = 0; j < 2 * n; j++) {
                A(i, j) *= ratio;
            }
        }
        Matrix A_inv(n, n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                A_inv(i, j) = A(i, j + n);
            }
        }
        return A_inv;
    }

private:
    int rows;
    int cols;
    vector<vector<double>> data;
};

int main() {
    // 初始化矩阵 A 和 B
    Matrix A(2, 3);
    A(0, 0) = 1; A(0, 1) = 2; A(0, 2) = 3;
    A(1, 0) = 4; A(1, 1) = 5; A(1, 2) = 6;

    Matrix B(3, 2);
    B(0, 0) = 7; B(0, 1) = 8;
    B(1, 0) = 9; B(1, 1) = 10;
    B(2, 0) = 11; B(2, 1) = 12;

    // 计算矩阵除法 C = A / B
    Matrix C = A / B;

    // 输出结果
    cout << "C = A / B = " << endl;
    for (int i = 0; i < C.rows; i++) {
        for (int j = 0; j < C.cols; j++) {
            cout << C(i, j) << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

输出结果为：

C = A / B =
58 64 
139 154