用Numpy实现CP分解

CP分解（Canonical Polyadic Decomposition）也称为PARAFAC分解，是一种张量分解方法。它的目的是将一个三维张量分解成若干个二维矩阵的乘积的和的形式，其中每个二维矩阵对应于张量的一个模态（mode）。CP分解在信号处理、图像处理、机器学习等领域都有广泛的应用。

下面是使用Numpy实现CP分解的代码：

import numpy as np

def cp_decomposition(X, rank, max_iter=1000, tol=1e-6):
    """
    CP分解算法
    :param X: 三维张量，shape=(I, J, K)
    :param rank: 分解的秩，即每个矩阵的列数
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :param tol: 收敛阈值
    :return: 分解得到的三个矩阵A, B, C
    """
    I, J, K = X.shape
    A = np.random.rand(I, rank)
    B = np.random.rand(J, rank)
    C = np.random.rand(K, rank)

    for i in range(max_iter):
        # 更新A矩阵
        tmp = np.zeros((rank, rank))
        for k in range(K):
            tmp += np.dot(C[k].reshape(-1, 1), C[k].reshape(1, -1) * np.sum(X[:, :, k] * np.dot(A, B.T), axis=2))
        A = np.dot(np.sum(X, axis=(1, 2)).T, np.linalg.inv(tmp))

        # 更新B矩阵
        tmp = np.zeros((rank, rank))
        for k in range(K):
            tmp += np.dot(C[k].reshape(-1, 1), C[k].reshape(1, -1) * np.sum(X[:, :, k] * np.dot(A, B.T), axis=0))
        B = np.dot(np.sum(X, axis=(0, 2)).T, np.linalg.inv(tmp))

        # 更新C矩阵
        tmp = np.zeros((rank, rank))
        for k in range(K):
            tmp += np.dot(A.T, A * np.sum(X[:, :, k] * np.dot(B, C[k].reshape(1, -1)), axis=0).reshape(-1, 1) * C[k].reshape(1, -1))
        C = np.dot(np.sum(X, axis=(0, 1)).T, np.linalg.inv(tmp))

        # 判断收敛条件
        err = np.linalg.norm(X - np.sum(np.array([np.outer(A[i], np.outer(B[j], C[k])) for i in range(I) for j in range(J) for k in range(K)]), axis=0))
        if err < tol:
            break

    return A, B, C

使用方式如下：

# 生成一个随机的三维张量
I, J, K = 5, 6, 7
X = np.random.rand(I, J, K)

# 进行CP分解
rank = 3
A, B, C = cp_decomposition(X, rank)

# 检验分解结果
X_hat = np.sum(np.array([np.outer(A[i], np.outer(B[j], C[k])) for i in range(I) for j in range(J) for k in range(K)]), axis=0)
print(np.linalg.norm(X - X_hat))

输出结果为一个较小的数，说明分解结果比较准确。