数值分析多元迭代法求解非线性方程组

多元迭代法是一种常用于求解非线性方程组的数值分析方法。其基本思想是将一个非线性方程组转化为一个等价的形式，使得每个方程只包含一个未知数，然后通过逐步迭代求解来逼近方程组的根。以下是多元迭代法的一般步骤：

1. 将非线性方程组转化为一个等价形式，使每个方程只包含一个未知数。

2. 选定一个初始向量 $\mathbf{x}^{(0)}$，并设定一个迭代次数 $k$。

3. 迭代计算 $\mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{g}(\mathbf{x}^{(k)})$，其中 $\mathbf{g}$ 是一个向量函数，其输入为 $\mathbf{x}^{(k)}$，输出为 $\mathbf{x}^{(k+1)}$。

4. 判断 $\mathbf{x}^{(k+1)}$ 是否满足精度要求，即 $||\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)}||<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 为预设的精度值。

5. 如果精度要求未满足，继续迭代计算；否则，输出 $\mathbf{x}^{(k+1)}$ 作为方程组的解。

常用的多元迭代法包括牛顿法、割线法、拟牛顿法等。这些方法的具体迭代公式和收敛性质各不相同，需要根据具体问题选择合适的方法。