用公式推导mur一阶吸收边界条件
时间: 2024-02-23 15:57:14 浏览: 44
假设电磁波在介质中传播,介质的电导率为σ,磁导率为μ,介质中的电场E和磁场H可以分别表示为:
$$E = E_0e^{-j\omega t}e^{j\vec{k}\cdot\vec{r}}$$
$$H = H_0e^{-j\omega t}e^{j\vec{k}\cdot\vec{r}}$$
其中,ω是角频率,k是波矢量,r是位置矢量。根据Maxwell方程组的推导,可以得到:
$$\nabla\times\vec{E} = -j\omega\mu\vec{H}$$
$$\nabla\times\vec{H} = j\omega\epsilon\vec{E}+j\omega\sigma\vec{E}$$
其中,ε是介质的介电常数。在边界上,如果采用第一类Mur吸收边界条件,可以得到:
$$\frac{\partial E_z}{\partial z}\bigg|_{z=0} = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_y}{\partial x}\bigg|_{z=0}$$
$$\frac{\partial H_y}{\partial z}\bigg|_{z=0} = \frac{1}{c}\frac{\partial E_z}{\partial x}\bigg|_{z=0}$$
其中,c是光速。这两个方程可以用来描述电磁波在吸收边界处的反射和吸收情况。
相关问题
推导mur一阶吸收边界条件
首先,我们需要知道什么是Mur一阶吸收边界条件。Mur一阶吸收边界条件是一种常用于时域有限差分方法中的边界条件,用于模拟电磁波在无限大空间中传播时的边界情况。
假设我们的仿真区域是一个正方形,其中一个边界面(假设为x方向)的位置为x=0,我们需要将这个边界面视为吸收边界,即电磁波在这个边界面上的反射应该被尽可能吸收。
Mur一阶吸收边界条件可以通过以下步骤推导得到:
1. 首先,我们需要将边界面上的电磁场分解为两个方向,垂直于边界面的电磁场(假设为Ey)和平行于边界面的电磁场(假设为Ez)。
2. 然后,我们需要在边界面上引入一个虚拟面(假设为x=-dx/2),在这个虚拟面上,我们需要将垂直于边界面的电磁场(Ey)反射回来。
3. 接下来,我们需要在虚拟面上引入一个反射系数(假设为R1),用来控制反射电磁波的振幅大小。
4. 然后,我们需要在虚拟面与边界面之间再引入一个虚拟面(假设为x=-dx),在这个虚拟面上,我们需要将平行于边界面的电磁场(Ez)反射回来。
5. 同样地,我们需要在这个虚拟面上引入一个反射系数(假设为R2),用来控制反射电磁波的振幅大小。
6. 最后,我们需要对边界面上的电磁场进行修正,使得边界面上的电磁波在经过反射之后,相当于在虚拟面上产生了吸收。
通过这样的推导过程,我们可以得到Mur一阶吸收边界条件的具体表达式。
用一阶单向波方程推导mur一阶吸收边界条件
首先,我们先考虑一维波动方程:
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$
其中,$u(x,t)$ 表示波函数,$c$ 表示波速。
为了推导吸收边界条件,我们需要引入 Mur 一阶吸收边界条件。假设边界位置为 $x=0$,则 Mur 一阶吸收边界条件可以表示为:
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + \alpha u = \frac{\partial}{\partial x}\left(\beta \frac{\partial u}{\partial x}\right)
$$
其中,$\alpha$ 和 $\beta$ 是吸收系数,可以根据需要进行调整。
现在,我们需要将 Mur 一阶吸收边界条件应用到波动方程中。首先,我们将波函数 $u(x,t)$ 在边界处进行 Taylor 展开,有:
$$
u(x+\Delta x, t) = u(x,t) + \Delta x \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\Delta x^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cdots
$$
其中,$\Delta x$ 表示网格间距。
然后,我们将 $u(x,t)$ 和 $u(x+\Delta x, t)$ 带入 Mur 一阶吸收边界条件中,得到:
$$
\frac{u^{n+1}_0 - u^n_0}{\Delta t} + \alpha u^n_0 = \frac{1}{\Delta x}\left(\beta \frac{\partial u^n}{\partial x}\bigg|_{x=\Delta x/2} - \beta \frac{\partial u^n}{\partial x}\bigg|_{x=-\Delta x/2}\right)
$$
其中,$u^n_0$ 表示时间步 $n$ 时刻边界位置 $x=0$ 处的波函数值,$u^{n+1}_0$ 表示时间步 $n+1$ 时刻边界位置 $x=0$ 处的波函数值,$\Delta t$ 表示时间步长。
接下来,我们使用差分形式表示各种导数,得到:
$$
\frac{u^{n+1}_0 - u^n_0}{\Delta t} + \alpha u^n_0 = \frac{\beta}{\Delta x^2}\left(u^n_{-1} - 2u^n_0 + u^n_{1}\right)
$$
其中,$u^n_{-1}$ 表示时间步 $n$ 时刻位置 $x=-\Delta x/2$ 处的波函数值,$u^n_{1}$ 表示时间步 $n$ 时刻位置 $x=\Delta x/2$ 处的波函数值。
这样,我们就得到了 Mur 一阶吸收边界条件在一维波动方程中的差分形式。
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