ARIMA-GARCH预测模型原理公式

ARIMA-GARCH（Autoregressive Integrated Moving Average - Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）是一种常用的时间序列预测模型。它将ARIMA模型和GARCH模型结合起来，旨在处理时间序列中的两个主要问题：自回归误差和异方差性。

ARIMA模型建立在时间序列的差分上，通过对序列进行自回归和移动平均建模来捕捉序列的趋势和季节性。而GARCH模型则用于对序列的异方差性进行建模，通过引入条件异方差来捕捉序列中不同时间段的波动特征。

ARIMA-GARCH模型的基本公式如下：

ARIMA(p, d, q)模型：

$$\Delta y_t = \alpha_1\Delta y_{t-1} + \alpha_2\Delta y_{t-2} + \cdots + \alpha_p\Delta y_{t-p} + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \theta_2\varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t$$

其中，$\Delta y_t$ 表示时间序列的差分项，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p$ 和 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_q$ 分别表示自回归项和移动平均项的系数，$\varepsilon_t$ 表示白噪声误差项。

GARCH(p, q)模型：

$$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2\varepsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_p\varepsilon_{t-p}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2 + \beta_2\sigma_{t-2}^2 + \cdots + \beta_q\sigma_{t-q}^2$$

其中，$\sigma_t^2$ 表示时间序列的方差，$\omega$ 表示常数项，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q$ 分别表示条件异方差项和条件方差项的系数，$\varepsilon_t$ 表示白噪声误差项。

ARIMA-GARCH模型：

$$\Delta y_t = \mu + \sum_{i=1}^{p}\varphi_i\Delta y_{t-i} + \sum_{i=1}^{q}\theta_i\varepsilon_{t-i} + \varepsilon_t$$

$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^{q}\beta_i\sigma_{t-i}^2$$

其中，$\mu$ 表示时间序列的均值，$\varphi_i$ 表示自回归项的系数，$\theta_i$ 表示移动平均项的系数，$\alpha_i$ 表示条件异方差项的系数，$\beta_i$ 表示条件方差项的系数。

通过对历史数据进行ARIMA-GARCH模型的拟合和参数估计，可以得到一个具有预测能力的模型，用于预测未来的序列值和方差。