基于感知函数准则线性分类器设计

基于感知函数准则的线性分类器，也称为感知机，是一种二元线性分类器。它是由美国学者Frank Rosenblatt在1957年提出的。

感知机的设计思想是：给定一组输入特征向量，将其映射到二元输出标签，即判断该特征向量所属的类别。感知机的核心是感知函数，它可以将输入特征向量映射到一个实数值，根据该值的正负可以判断输入特征向量所属的类别。

感知函数通常采用阶跃函数或者sigmoid函数。阶跃函数的表达式为：

$f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x \leq 0 \end{cases}$

sigmoid函数的表达式为：

$f(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$

对于给定的输入特征向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，感知机的输出$y$可以表示为：

$y = f(\sum_{i=1}^{n}w_ix_i+b)$

其中，$w_i$和$b$是感知机的参数，可以通过训练数据来学习得到。感知机的训练目标是使得感知函数的输出与实际标签一致，即：

$y_i = \begin{cases} 1, & x_i\in C_1 \\ -1, & x_i\in C_2 \end{cases}$

通过梯度下降等优化算法，可以不断调整参数$w_i$和$b$，使得感知函数的输出尽可能接近实际标签。最终得到的感知机模型可以用于新的输入特征向量的分类。

需要注意的是，感知机只适用于线性可分问题，即存在一个超平面可以将不同类别的样本分开。如果样本不是线性可分的，需要使用其他的分类器，如支持向量机等。