nlogn 的时间复杂度是怎么得来的

通常情况下，我们说一个算法的时间复杂度是 $O(nlogn)$，是因为该算法的时间复杂度能够达到 $O(nlogn)$ 的上限。这个上限是从算法的基本操作的次数来推导的。

我们以归并排序为例，来解释 $O(nlogn)$ 时间复杂度的计算。归并排序是一种分治算法，其时间复杂度可以分为两个部分：

1. 分解：将待排序的 $n$ 个元素分成各含 $n/2$ 个元素的子序列，这个过程的时间复杂度是 $O(n)$。

2. 合并：对这些子序列进行两两合并，得到 $n/2$ 个子序列，每个子序列含有 $2$ 个元素，对这些子序列再进行两两合并，直到得到一个长度为 $n$ 的有序序列。这个过程的时间复杂度是 $O(nlogn)$。

因此，归并排序的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

具体来说，由于每次合并操作需要比较两个子序列的元素，因此每次合并的时间复杂度为 $O(n)$，而总的合并次数为 $logn$，因此总的时间复杂度为 $O(nlogn)$。

需要注意的是，$O(nlogn)$ 是归并排序的最优时间复杂度，但在实际应用中，该时间复杂度并不是所有情况下都能达到。例如，当待排序的数组已经有序时，归并排序的时间复杂度就会退化为 $O(n)$，而不是 $O(nlogn)$。

相关问题

归并排序时间复杂度计算

归并排序的时间复杂度可以通过递归地计算子问题的时间复杂度来得到。根据引用中的公式，归并排序的时间复杂度可以表示为：

T(n) = 2*T(n/2) + C

其中，n代表问题的规模，T(n)表示规模为n的问题的时间复杂度，C表示常数项。

通过递归展开，我们可以得到以下等式：

T(n) = 2*T(n/2) + C
= 2*(2*T(n/4) + C) + C
= 4*T(n/4) + 2*C
= 4*(2*T(n/8) + C) + 2*C
= 8*T(n/8) + 3*C
= ...
= 2^k * T(n/2^k) + k*C

其中，k代表递归的层数。

当子问题的规模变为1时，即n/2^k=1，解得k=logn。

将k=logn代入上式中，得到：

T(n) = 2^logn * T(1) + logn*C
= n * T(1) + logn*C

因为T(1)是常数，所以可以写成：

T(n) = O(n) + O(logn)
= O(nlogn)

所以，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [归并排序算法的时间复杂度](https://blog.csdn.net/crookshanks_/article/details/95355840)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [根号n段归并排序算法](https://download.csdn.net/download/weixin_43306183/13057214)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
[ .reference_list ]

怎么计算快排的时间复杂度和空间复杂度

### 回答1：
快速排序（QuickSort）是一种分治算法，由 Tony Hoare 在 1960 年提出。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

在平均情况下，每次排序后，数列的长度就会减半。因此，快速排序的时间复杂度可以表示为 O(nlogn)。在最坏的情况下，快速排序的时间复杂度为 O(n^2)，这种情况出现在每次排序后数列的长度都没有减半的情况下。

快速排序的空间复杂度为 O(logn)，因为它需要用递归的方式进行排序，需要使用递归栈。

总的来说，快速排序是一种非常快速的排序算法，在平均情况下具有较好的时间复杂度，但是在最坏情况下其时间复杂度较差。

### 回答2：
快速排序的时间复杂度可以通过递归树来计算。在最好情况下，每次划分都将数组分成两个大小近似相同的子数组，这样递归树的高度为log(n)，其中n是数组的长度。并且，在每一层递归中，都需要耗费O(n)的时间来进行划分操作。因此，最好情况下的时间复杂度为O(n*log(n))。

在最坏情况下，每次划分都将数组分为一个较小的子数组和一个较大的子数组，此时递归树的高度为n。并且，在每一层递归中，都需要耗费O(n)的时间来进行划分操作。因此，最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。

在平均情况下，假设划分过程能够均匀分配元素，那么递归树的平均高度为log(n)，每一层递归的划分操作耗费O(n)的时间。因此，平均情况下的时间复杂度为O(n*log(n))。

快速排序的空间复杂度取决于递归调用栈的深度。在最好情况下，递归调用栈的深度为log(n)，因此空间复杂度为O(log(n))。在最坏情况下，递归调用栈的深度为n，空间复杂度为O(n)。平均情况下，递归调用栈的深度为log(n)，空间复杂度为O(log(n))。

需要注意的是，快速排序是一种原地排序算法，即不需要额外的存储空间。但是在递归调用过程中，会使用到递归栈的空间。

### 回答3：
快速排序（Quicksort）是一种常用的排序算法。它的时间复杂度和空间复杂度如下所述。

时间复杂度：
在最理想的情况下，快排的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 表示待排序序列的长度。这是因为每次划分都将序列划分为两个规模均匀的子序列，并且划分的过程只需要遍历一次序列。因此，递推公式为 T(n) = 2T(n/2) + O(n)，根据主定理可以得到 T(n) = O(nlogn)。
在最坏的情况下，快排的时间复杂度为 O(n^2)。最坏情况发生在每次划分都只能将序列划分为一个元素和 n-1 个元素的两个子序列的情况下。递推公式为 T(n) = T(n-1) + O(n)，解得 T(n) = O(n^2)。
平均情况下，快排的时间复杂度也是 O(nlogn)。这是因为平均情况下可以假设每次划分都能将序列划分为大小相等的两个子序列，递推公式为 T(n) = 2T(n/2) + O(n)，根据主定理可以得到 T(n) = O(nlogn)。

空间复杂度：
快排的空间复杂度为 O(logn)。空间复杂度的主要来源是递归过程中的栈空间。每次划分都会生成两个子序列，所以递归调用的层数为 logn，每层需要 O(1) 的额外空间用于存储划分点，因此总的空间复杂度为 O(logn)。

综上所述，快排的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(logn)。快排是一种高效的排序算法，适用于大规模数据的排序。