白然光通过透光轴夾角为15度的线偏振器后，又通过了1/1、和1/8 波片，快轴沿波片Y轴，试用琼斯矩阵计算透射光的偏振态。

根据题目所给条件，可以列出以下参数：

透光轴夹角为15度的线偏振器的透射轴与X轴夹角为15度，传递函数为：

$$
T_{LP}=\begin{bmatrix}
\cos^2\theta & \cos\theta\sin\theta \\
\cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos^2 15^\circ & \cos 15^\circ\sin 15^\circ \\
\cos 15^\circ\sin 15^\circ & \sin^2 15^\circ
\end{bmatrix}
$$

1/1波片的传递函数为：

$$
T_{\frac{1}{1}}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$

1/8波片的传递函数为：

$$
T_{\frac{1}{8}}=\begin{bmatrix}
\cos^2\frac{\pi}{16}+i\sin^2\frac{\pi}{16} & (1-i)\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16} \\
(1-i)\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16} & \sin^2\frac{\pi}{16}+i\cos^2\frac{\pi}{16}
\end{bmatrix}
$$

根据琼斯矩阵的乘法公式，可以得到透射光的偏振态为：

$$
\begin{aligned}
J_{out}&=T_{\frac{1}{8}}T_{\frac{1}{1}}T_{LP}J_{in} \\
&=\begin{bmatrix}
\cos^2 15^\circ & \cos 15^\circ\sin 15^\circ \\
\cos 15^\circ\sin 15^\circ & \sin^2 15^\circ
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos^2\frac{\pi}{16}+i\sin^2\frac{\pi}{16} & (1-i)\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16} \\
(1-i)\sin\frac{\pi}{16}\cos\frac{\pi}{16} & \sin^2\frac{\pi}{16}+i\cos^2\frac{\pi}{16}
\end{bmatrix}J_{in} \\
&=\begin{bmatrix}
-0.2327+0.2793i & -0.0092-0.0047i \\
-0.0092-0.0047i & 0.2327+0.2793i
\end{bmatrix}J_{in}
\end{aligned}
$$

因此，透射光的偏振态为：

$$
J_{out}=\begin{bmatrix}
-0.2327+0.2793i \\
-0.0092-0.0047i
\end{bmatrix}J_{in}
$$