nurbs曲线逼近控制顶点的计算公式

NURBS曲线的控制顶点计算公式与Bézier曲线的类似，但在计算时需要考虑权重因素。设NURBS曲线的控制顶点为$P_0,P_1,...,P_n$，权重为$w_0,w_1,...,w_n$，则曲线上的点$Q(u)$的计算公式为：

$$Q(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)w_iP_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)w_i} $$

其中$N_{i,p}(u)$是NURBS基函数，$p$是曲线的次数，定义为：

$$N_{i,0}(u) = \begin{cases}1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u_i \leq u < u_{i+1}\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{otherwise}\end{cases}$$

$$N_{i,p}(u) = \frac{(u-u_i)N_{i,p-1}(u)}{u_{i+p}-u_i} + \frac{(u_{i+p+1}-u)N_{i+1,p-1}(u)}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}$$

其中$p\geq1$，$u_i$是节点向量。节点向量是一个非降序列，长度为$n+p+1$，其中$n$是控制顶点的个数。节点向量的定义对于曲线的形状和光滑度有重要影响。