对如下所示的连通无向图G=<V,E,W>,请写出求最小生成树的过程中辅助数组的更新过程,其中color表示顶点状态,dist记录横跨(VA,V-VA)边的权重,pred表示前驱顶点。

在求解最小生成树的过程中，我们通常会使用三个辅助数组：color、dist和pred。

- color数组：用于记录每个顶点的状态，通常有三种状态：未访问过（white）、已访问但未确定最短路径（gray）和已确定最短路径（black）。
- dist数组：用于记录横跨(VA,V-VA)边的权重，即每个顶点到最小生成树的距离。
- pred数组：用于记录每个顶点在最小生成树中的前驱顶点。

下面是求解最小生成树的过程中辅助数组的更新过程：

1. 初始化数组：

将所有顶点的color设为white，dist设为无穷大，pred设为null。

2. 选择起点：

选择一个起点v0作为最小生成树的根节点，将其color设为gray，dist设为0，pred设为null。

3. 扩展节点：

从所有gray状态的顶点中选择一个距离最小的顶点v，将其color设为black，并将其所有相邻的白色顶点u的dist值更新为(u,v)边的权重，将它们的pred值更新为v。

4. 重复步骤3直到所有顶点都被访问过：

重复步骤3，直到所有顶点都被访问过为止。这时，pred数组中存储的就是最小生成树的构成方式。

相关问题

设图G'=V"，E'>是图G=<V，E>的生成子图，则

图G'的节点集V"是图G的节点集V的一个子集，边集E'是图G的边集E的一个子集，且边集E'中的边连接的节点都在节点集V"中。也就是说，图G'是由图G中部分节点和边组成的子图。

同时，图G'中的每个节点都与图G中的至少一个节点相对应，即图G'中的节点是图G中某个节点的子集。因此，图G'中的每个节点都继承了图G中相应节点的度数、邻居节点等特性。

另外，由于图G'是由图G中的部分边构成的子图，因此图G'中的每个连通子图都是图G中的某个连通子图的子集。也就是说，图G'中的连通性继承自图G中的连通性。

综上所述，图G'是由图G中的部分节点和边构成的子图，继承了图G中相应节点和连通性的特性。

用张铭编写的《数据结构与算法》证明： 对于一个无向图 G=<V, E>，若 G 中各顶点度数都大于等于 2，则 G 中必有回路。

首先，我们需要明确一个概念，回路（Cycle）是指在图中存在至少一条边，能够从某个顶点出发，经过若干个不同的顶点后，再回到这个出发点。

接下来，我们使用反证法证明原命题。

假设 G 中不存在回路，即 G 是无环图。

由于 G 中各顶点度数都大于等于 2，那么对于任意一个顶点 v∈V，它至少有两条出边，连接着不同的顶点。我们从这个顶点 v 出发，依次沿着其中一条出边走到下一个顶点，然后再沿着其中一条出边走到下一个顶点，一直走下去，直到无法继续走下去为止，这时我们会停在一个度数为 1 的顶点 u 上。

由于 G 是无环图，我们不能再从顶点 u 出发继续往下走，因为如果我们能够继续往下走，那么我们就会形成一个回路，与假设矛盾。因此，顶点 u 只有一条入边与之相连，否则它的度数就大于等于 2。

现在我们考虑从顶点 u 出发，继续按照上述方法往下走，走到下一个度数为 1 的顶点 v 上。同样地，顶点 v 也只有一条入边与之相连。

继续往下走，我们会发现如果 G 是无环图，那么我们最终一定会走到某个度数为 1 的顶点 w 上，且顶点 w 的入边与顶点 v 的出边相同。如下图所示：

    v ----> w
    ^       |
    |       |
    +-------+

现在我们将这条边从图中删除，再将顶点 w 也从图中删除，得到新的图 G'。由于顶点 w 的入边和顶点 v 的出边相同，所以删除这条边对 G 的连通性没有影响。此时，顶点 v 的度数减少了 1，但仍然大于等于 1。同样地，对于顶点 u 和它的出边也是如此。因此，我们可以重复上述过程，每次都删除某个度数为 1 的顶点及其相连的边，直到剩余的图 G'' 中只剩下一个度数不为 0 的连通分量。

最终得到的图 G'' 中，所有顶点的度数都为 0，这是因为每次删除顶点和边时，总度数减少 2，而初始时总度数为偶数（因为每条边都被算了两次），因此经过若干次删除后，剩余的总度数为偶数，而每个顶点的度数又都是偶数，所以剩余的图中顶点的度数都为偶数，与总度数为偶数矛盾。

因此，假设不成立，原命题得证。即，对于一个无向图 G=<V, E>，若 G 中各顶点度数都大于等于 2，则 G 中必有回路。