将90分成三个正数,如何分使它们的乘积最大
时间: 2024-03-29 07:39:54 浏览: 17
我们可以使用 AM-GM 不等式来解决这个问题。
根据 AM-GM 不等式,对于任意一组正数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$,有:
$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$$
当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时取等。
因此,对于这个问题,我们可以将 $90$ 分分成三个相等的数,即 $30$ 分。这样它们的乘积为 $30^3 = 27,000$,是所有分法中乘积最大的。
相关问题
python切片求三个数的最大乘积
可以使用Python的切片来求解三个数的最大乘积。具体步骤如下:
1. 对输入的数组进行排序,从小到大排列。
2. 分别计算三个正数的乘积和两个负数和一个正数的乘积,取两者中的最大值即为所求。
3. 使用切片来实现上述步骤,代码如下:
```
class Solution:
def maximumProduct(self, nums: List[int]) -> int:
nums.sort()
return max(nums[-1]*nums[-2]*nums[-3], nums[0]*nums[1]*nums[-1])
```
欲将长度为a的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度的乘积最大。
假设这个细杆的长度为a,则将其分成三段的长度分别为x, y, z,且x+y+z=a。
要使三段长度的乘积最大,我们需要求解如下的最优化问题:
maximize P = xyz
subject to x+y+z=a
为了解决这个问题,我们可以使用拉格朗日乘数法。我们定义拉格朗日函数为:
L(x,y,z,λ) = xyz + λ(x+y+z-a)
然后对x, y, z, λ分别求偏导,并令其等于0,得到如下系统的方程组:
y*z + λ = 0
x*z + λ = 0
x*y + λ = 0
x + y + z = a
由于x, y, z都是正数,因此我们可以将λ看作是一个负数,即λ = -p,其中p为正数。将上述方程组代入拉格朗日函数,可以得到:
L(x,y,z,λ) = xyz + λ(x+y+z-a)
= xyz - p(x+y+z-a)
= xyz + p(a-x-y-z)
= xyz + p[(a-x)+(a-y)+(a-z)]
由于p, a和x, y, z都是正数,因此p(a-x), p(a-y), p(a-z)都是正数,因此L(x,y,z,λ)最大值对应的x, y, z必须满足:
x = y = z = a/3
因此,为了使三段长度的乘积最大,我们需要将细杆分成三段,每段长度都为a/3。