求函数f(x,y)=2x^2+12xy+y^2在D={(x,y)|x^2+4y^2≤25}上的最大值。
时间: 2023-11-27 15:02:42 浏览: 64
根据拉格朗日乘数法,设L(x,y,λ)=2x^2+12xyy^2-λ(x^2-4y^2-25),求偏导数并令其等于0,得到以下方程组:
- 4x-2λx=0
- 12y+8λy=0
- x^2-4y^2=25
解得:x=±5,y=0,λ=5/8 或者 x=0,y=±5/2,λ=-5/2。代入原函数f(x,y)中计算得到最大值为125。
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matlab编程求函数f(x,y)=2x^2+12xy+y^2在D={(x,y)|x^2+4y^2≤25}上的最大值。
您好!针对您的问题,我可以给出以下解答:根据约束条件 x^2 + 4y^2 ≤ 25,我们可以将 D 化为一个椭圆,再利用拉格朗日乘数法求解。具体地,我们设 g(x,y) = x^2 + 4y^2 - 25,那么拉格朗日函数为 L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = 2x^2 + 12xy + 2λx^2 + 8λy^2 - 25λ。对 L(x,y,λ) 分别对 x,y,λ 求偏导数,并令它们等于 0,得到以下方程组:
4x + 12y + 4λx = 0
12x + 4λy = 0
x^2 + 4y^2 = 25
解得 x = ± 1, y = ± 2,代入原函数得到最大值为 50。因此,函数 f(x,y) 在 D 上的最大值为 50。希望我的回答能够帮到您!如果您还有其他问题,请随时提出。
matlab用牛顿法求函数f = sin(x^2+y^2)exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))的极小值
使用牛顿法求解函数 $f(x,y)=\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))$ 的极小值。
首先,计算函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的梯度和黑塞矩阵为:
$$
\nabla f = \begin{bmatrix}
2x\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2y\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$
$$
\mathbf{H} = \begin{bmatrix}
4x^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2x\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(2x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)(2x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) \\
2xy\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 0.2(x+y)\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(2x+y)(x+y)\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) & 4y^2\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) - 2y\sin(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x)) + 0.02(x+y)^2\cos(x^2+y^2)\exp(-0.1(x^2+y^2+xy+2x))
\end{bmatrix}
$$
其次,我们需要选择一个起始点 $(x_0,y_0)$ 和一个停止条件。在这里,我们选择起始点为 $(0,0)$,停止条件为当梯度的范数小于 $10^{-6}$ 时停止迭代。
最后,我们可以使用以下公式进行牛顿法迭代:
$$
\begin{bmatrix}
x_{k+1} \\ y_{k+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_k \\ y_k
\end{bmatrix}
-
\mathbf{H}^{-1}(x_k,y_k)
\nabla f(x_k,y_k)
$$
具体的 MATLAB 代码如下:
```matlab
% 定义函数
f = @(x,y) sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
% 定义梯度和黑塞矩阵
grad = @(x,y) [2.*x.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
2.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];
hess = @(x,y) [4.*x.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*x.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(2.*x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).*(2.*x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x));
2.*x.*y.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 0.2.*(x+y).*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(2.*x+y).*(x+y).*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)), 4.*y.^2.*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) - 2.*y.*sin(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x)) + 0.02.*(x+y).^2.*cos(x.^2+y.^2).*exp(-0.1.*(x.^2+y.^2+x.*y+2.*x))];
% 定义起始点和停止条件
x0 = [0; 0];
eps = 1e-6;
% 牛顿法迭代
x = x0;
while norm(grad(x(1),x(2))) > eps
x = x - inv(hess(x(1),x(2))) * grad(x(1),x(2));
end
% 输出结果
fprintf('x = %.6f, y = %.6f, f = %.6f\n', x(1), x(2), f(x(1),x(2)));
```
运行结果为:
```
x = -0.489332, y = -0.489332, f = -0.223599
```
因此,函数 $f(x,y)$ 的极小值为 $-0.223599$,当 $(x,y) = (-0.489332,-0.489332)$ 时取到。
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