MATLAB二维泊松方程第一边值问题Jacobi迭代求解

二维泊松方程的第一边值问题可以表示为：

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x,y), (x,y) ∈ Ω,
u(x,y) = g(x,y), (x,y) ∈ ∂Ω,

其中，Ω是一个二维区域，f(x,y)和g(x,y)分别是给定的函数。

Jacobi迭代是求解该问题的一种常用方法。它的基本思想是将当前迭代步的结果作为下一步迭代的初始值，直到收敛为止。具体实现如下：

1. 初始化网格点的值，包括边界点和内部点；
2. 在每个迭代步中，对于每个内部点，使用当前迭代步的邻域点的值来更新该点的值；
3. 直到解收敛为止。

下面是一个MATLAB程序示例，用Jacobi迭代方法求解二维泊松方程：

% 定义问题参数
Lx = 1; Ly = 1; % 区域大小
nx = 21; ny = 21; % 网格数
hx = Lx/(nx-1); hy = Ly/(ny-1); % 网格步长
x = linspace(0, Lx, nx); y = linspace(0, Ly, ny);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
f = ones(nx,ny); % 给定的函数f(x,y)
g = zeros(nx,ny); g(1,:) = sin(pi*y); g(nx,:) = sin(pi*y)*exp(pi); % 边界条件

% 初始化网格点的值
u = zeros(nx,ny);
u(1,:) = sin(pi*y); u(nx,:) = sin(pi*y)*exp(pi); % 边界点

% 迭代求解
max_iter = 1000; % 最大迭代步数
tol = 1e-6; % 收敛精度
for k = 1:max_iter
    u_old = u;
    for i = 2:nx-1
        for j = 2:ny-1
            u(i,j) = (hx^2*f(i,j) + u_old(i+1,j) + u_old(i-1,j) + u_old(i,j+1) + u_old(i,j-1))/4;
        end
    end
    diff = max(max(abs(u - u_old))); % 判断是否收敛
    if diff < tol
        break
    end
end

% 绘制结果
figure
surf(X,Y,u)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')
title('Solution of 2D Poisson Equation with Jacobi Iteration')

在上述代码中，我们首先定义了问题的参数，包括区域大小、网格数、网格步长、函数f(x,y)和边界条件g(x,y)。然后，我们初始化网格点的值，包括边界点和内部点。在迭代过程中，我们使用当前迭代步的邻域点的值来更新每个内部点的值。最后，我们绘制了求解的结果。