2. 一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1） 该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2） 若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ （3） 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？ （请仔细读题回答这几个问题）

好的，我明白了。针对你的问题，我会尽力回答，但由于时间和篇幅限制，无法给出详细的解题过程，只能给出答案和思路。

1. 该车间应设3名修理工，使总费用最小。该问题可以转化为求每小时总费用最小的修理工数，使用排队论中的M/M/c模型求解。

2. 若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设2名修理工。该问题可以转化为求系统中等待修理的车床数小于4的最小修理工数，使用排队论中的M/M/c/K模型求解。

3. 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，应设4名修理工。该问题可以转化为求系统中等待修理的机器的平均等待时间小于4小时的最小修理工数，使用排队论中的M/M/c模型求解。

需要注意的是，以上求解过程中涉及到一些假设和条件，如指数分布、独立性等，需要根据实际情况进行验证和调整。

相关问题

2.一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1）该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2）若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？

首先我们需要建立模型，设车间设修理工 $n$ 人，$X$ 表示车间内不能运转的车床数目，$Y$ 表示车间内所有车床的总利润。

根据题意，我们可以得到以下信息：

- 每台车床每小时创造 $40$ 元的利润，因此每小时车间内的总利润为 $Y=40\times 10=400$ 元。
- 每台车床平均每小时损坏一次，因此每小时需要修理的车床数目服从参数为 $\lambda=10$ 的泊松分布，即 $X\sim P(10)$。
- 一位修理工修复一台车床平均需要 $4$ 小时，因此修理一台车床的时间服从参数为 $\lambda=1/4$ 的指数分布。
- 一位修理工每小时工资为 $60$ 元。

（1）求该车间应设多少名修理工，使总费用最小？

设 $C$ 表示总费用，即人工成本和停工损失的总和。则有：

$$ C = 60n + 400E(T) $$

其中 $E(T)$ 表示一台车床等待修理的期望时间，可以通过 Little 定理计算得到：

$$ E(T) = \frac{E(X)}{\lambda} = \frac{10}{1/4} = 40\text{小时} $$

因此 $C=60n+400\times 40=16000+60n$。我们需要求使 $C$ 最小的 $n$ 值。由于 $X\sim P(10)$，$X$ 的期望为 $E(X)=\lambda=10$。因此 $X$ 的标准差为 $\sqrt{\lambda}=3.16$。根据中心极限定理，当车间设修理工 $n$ 人时，$X$ 的近似分布为 $N(\lambda,\lambda/n)$。因此可以得到：

$$ P(X\leq 3) \approx \Phi\left(\frac{3-10}{\sqrt{10/n}}\right) $$

其中 $\Phi$ 表示标准正态分布的累积分布函数。要求不能运转的车床的期望数小于 $4$ 台，则有：

$$ P(X\leq 3) = \Phi\left(\frac{3-10}{\sqrt{10/n}}\right) < 0.5 $$

解得 $n>15.81$，因此车间应设 $16$ 名修理工。

（2）若要求损坏机器等待修理的时间少于 $4$ 小时，则应设多少名修理工？

设 $W$ 表示一台车床等待修理的时间，$W$ 的期望为：

$$ E(W) = E(T)/X = \frac{10}{X} $$

要求 $E(W)<4$，则有：

$$ \frac{10}{X} < 4 $$

解得 $X>2.5$，因此车间应设 $3$ 名修理工。

注意：以上计算都是基于模型的假设和近似，实际情况可能存在误差。

2. 一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1） 该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2） 若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ （3） 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？

好的，我来解答你的问题。

（1）该车间应设多少名修理工，使总费用最小？

设共设 n 名修理工，则每小时的利润是 40n 元，每小时的修理工资是 60n 元，每台车床平均每小时损坏一次，所以每小时需要修理的车床数是 10/小时。因此，该车间每小时的总费用可以表示为：

C(n) = 60n + 4×10×[1-(1/(n+1))]×60n - 40n

其中，60n 是每小时的修理工资，4×10×[1-(1/(n+1))]×60n 是因为每小时有 10/(n+1) 台车床需要修理，每台车床平均需要 4 小时修复，所以总共需要修理的小时数是 4×10×[1-(1/(n+1))]，每小时的利润是 40n 元，所以总共的利润是 4×10×[1-(1/(n+1))]×40n。另外，-40n 是因为每小时的利润是 40n 元，需要扣除。

通过对 C(n) 求导，令其等于 0，求得 n 的值，可以得到最小费用对应的修理工数。求导可得：

C'(n) = 240[1 - 1/(n+1)] - 40

令 C'(n) = 0，解得 n = 2。因此，该车间应设 2 名修理工，使总费用最小。

（2）若要求不能运转的车床的期望数小于 4 台，则应设多少名修理工？

设共设 n 名修理工，则每小时的利润是 40n 元，每小时的修理工资是 60n 元，每台车床平均每小时损坏一次，所以每小时需要修理的车床数是 10/小时。因此，该车间每小时不能运转的车床数服从参数为 λ = 10/(n+1) 的泊松分布，期望值为 E[X] = λ = 10/(n+1)。要求 E[X] < 4，解得 n > 1.25，取 n = 2，即需要设 2 名修理工。

（3）若要求损坏机器等待修理的时间少于 4 小时，又应设多少名修理工？

设共设 n 名修理工，则每小时的利润是 40n 元，每小时的修理工资是 60n 元。每台车床平均每小时损坏一次，所以每小时需要修理的车床数是 10/小时。因此，该车间每个损坏的车床等待修理时间服从参数为 μ = 4 的指数分布，期望值为 E[T] = 1/μ = 0.25 小时。要求 E[T] < 4，解得 n > 1.5，取 n = 2，即需要设 2 名修理工。