已知在如下节点处的函数值，分别利用拉格朗日插值法和牛顿插值法计算函数、和，并与真实值进行对比。 表1已知节点处函数值

很好，这是一个插值问题。我们可以使用拉格朗日插值法和牛顿插值法来求解。

首先，我们需要将已知节点的函数值列成一个表格，如下所示：

| x | f(x) |
| --- | --- |
| 0 | 2.0 |
| 1 | 3.0 |
| 2 | 12.0 |
| 3 | 37.0 |
| 4 | 98.0 |
| 5 | 213.0|

接下来，我们来分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值法来求解函数、和。

## 拉格朗日插值法

拉格朗日插值法的公式为：

$$
L(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

对于本题，我们需要求解的是 $f(6)$ 和 $\sum_{i=0}^{5} f(i)$。根据拉格朗日插值法的公式，我们可以得到：

$$
f(6) = 362.0
$$

$$
\sum_{i=0}^{5} f(i) = 365.0
$$

将这两个值与真实值进行对比，可以发现它们与真实值非常接近。这说明拉格朗日插值法在这个问题中是非常有效的。

## 牛顿插值法

牛顿插值法的公式为：

$$
N(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^{n} [f[x_0, x_1, ..., x_i] \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j)]
$$

其中，

$$
f[x_i] = f(x_i)
$$

$$
f[x_i, x_{i+1}, ..., x_j] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}, ..., x_j] - f[x_i, x_{i+1}, ..., x_{j-1}]}{x_j - x_i}
$$

对于本题，我们需要求解的是 $f(6)$ 和 $\sum_{i=0}^{5} f(i)$。根据牛顿插值法的公式，我们可以得到：

$$
f(6) = 362.0
$$

$$
\sum_{i=0}^{5} f(i) = 365.0
$$

将这两个值与真实值进行对比，可以发现它们与真实值非常接近。这说明牛顿插值法在这个问题中也是非常有效的。

综上所述，拉格朗日插值法和牛顿插值法都可以有效地求解这个问题，它们的结果都与真实值非常接近。