用Python编程实现分段线性插值算法，并用实例与n次插值算法进行比较

分段线性插值算法是一种用于在两个数据点之间插值的方法，它假定在每个数据点之间的插值函数为一条直线。该算法分为以下几步：

1. 将数据点按照横坐标从小到大排序。
2. 根据相邻两个数据点的横坐标差值，将插值区间分为若干段。
3. 对于每一段，计算出该段的斜率和截距，并生成该段的插值函数。
4. 对于需要插值的横坐标，找到其所在的插值区间，使用该区间对应的插值函数计算纵坐标。

下面是用Python实现分段线性插值算法的代码：

def linear_interpolation(x, y, x_new):
    """
    分段线性插值算法
    :param x: 数据点横坐标列表，要求已排序
    :param y: 数据点纵坐标列表，与x一一对应
    :param x_new: 需要插值的横坐标
    :return: 插值结果
    """
    n = len(x)
    if n < 2:
        raise ValueError("至少需要两个数据点")

    # 找到x_new所在的插值区间
    i = 0
    while i < n - 1 and x[i + 1] < x_new:
        i += 1

    # 计算插值结果
    if i == n - 1:
        # x_new在最后一个插值区间
        return y[i]
    else:
        # x_new在插值区间[i, i + 1]内
        k = (y[i + 1] - y[i]) / (x[i + 1] - x[i])
        b = y[i] - k * x[i]
        return k * x_new + b

下面是一个应用分段线性插值算法的实例，比较其与n次插值算法的插值结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义原函数
f = lambda x: np.sin(x)

# 生成数据点
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=11)
y = f(x)

# 计算插值结果
x_new = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=201)
y_linear = [linear_interpolation(x, y, xi) for xi in x_new]
y_poly = np.polyval(np.polyfit(x, y, deg=10), x_new)

# 绘制图像
plt.plot(x_new, f(x_new), label='original')
plt.plot(x_new, y_linear, label='linear interpolation')
plt.plot(x_new, y_poly, label='10th-order polynomial interpolation')
plt.scatter(x, y, marker='o', color='black')
plt.legend()
plt.show()

运行上述代码得到的图像如下：