推导BDF2解一阶常微分方程的稳定性区间
时间: 2023-09-27 14:04:21 浏览: 138
考虑一阶常微分方程的BDF2格式:
$$\frac{3y_{n+1}-4y_n+y_{n-1}}{2\Delta t} = f_{n+1}$$
将其化为标准形式:
$$y_{n+1} - 2y_n + \frac{1}{2}(y_{n-1}+2\Delta tf_{n+1})=0$$
假设解为$y_n = \lambda^n$,代入上式得到:
$$\lambda^{n+1} - 2\lambda^n + \frac{1}{2}(\lambda^{n-1}+2\Delta tf_{n+1})=0$$
移项得到:
$$\lambda^{n+1} - 2\lambda^n + \frac{1}{2}\lambda^{n-1}=-\Delta tf_{n+1}$$
设$z_n=\lambda^n$,则上式可表示为:
$$z_{n+1} - 2z_n + \frac{1}{2}z_{n-1}=-\Delta tf_{n+1}$$
这是一个线性差分方程,其特征方程为:
$$\lambda^2 - 2\lambda + \frac{1}{2}=0$$
解得:
$$\lambda_1 = 1+\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \lambda_2 = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}$$
由于BDF2是一个线性多步法,其解的稳定性与特征方程的根有关。根据线性多步法的稳定性条件,BDF2方法是A-稳定的,即特征方程的所有根的实部都小于等于0。
因此,要使BDF2方法稳定,特征方程的两个根都必须满足:
$$\Re(\lambda_1) = 1+\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 0, \quad \Re(\lambda_2) = 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 0$$
解得:
$$-1 \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \leq 1$$
因此,BDF2方法的稳定性区间为:
$$\boxed{-\sqrt{2} \leq \Delta t f_{n+1} \leq \sqrt{2}}$$
其中,$f_{n+1}$为$n+1$时刻的右端项。