CORAL算法的公式推导
时间: 2023-06-19 11:07:29 浏览: 127
CORAL(Covariance Matrix Adaptation for Representation Learning)算法的公式推导如下:
假设有源域数据$\mathcal{D}_s = \{(x_i^s, y_i^s)\}_{i=1}^{n_s}$和目标域数据$\mathcal{D}_t = \{x_i^t\}_{i=1}^{n_t}$,其中$x_i^s, x_i^t\in\mathbb{R}^d$表示样本特征,$y_i^s\in\mathcal{Y}$表示样本标签,$\mathcal{Y}$是标签空间。CORAL算法的目标是通过学习一个线性变换$W$将源域数据映射到目标域,即$Wx_i^s\approx x_i^t$。
CORAL算法的核心思想是通过最小化源域数据和目标域数据在特征空间中的协方差差异来学习变换矩阵$W$,具体地,CORAL算法的目标是:
$$\min_W\frac{1}{4d^2}\|C_s-C_t\|_F^2$$
其中$C_s$和$C_t$分别表示源域数据和目标域数据在特征空间中的协方差矩阵,$\|\cdot\|_F$表示Frobenius范数,$\frac{1}{4d^2}$是一个归一化因子,用于平衡不同维度的影响。
将$C_s$和$C_t$展开为$d\times d$的矩阵形式,可以得到:
$$C_s=\frac{1}{n_s}\sum_{i=1}^{n_s}(x_i^s-\mu_s)(x_i^s-\mu_s)^T$$$$C_t=\frac{1}{n_t}\sum_{i=1}^{n_t}(x_i^t-\mu_t)(x_i^t-\mu_t)^T$$
其中$\mu_s=\frac{1}{n_s}\sum_{i=1}^{n_s}x_i^s$和$\mu_t=\frac{1}{n_t}\sum_{i=1}^{n_t}x_i^t$分别表示源域数据和目标域数据在特征空间中的均值向量。
进一步地,将$C_s$和$C_t$中的差异项展开为:
$$\begin{aligned}\|C_s-C_t\|_F^2 &= \sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{d}(C_s-C_t)_{ij}^2 \\&= \sum_{i=1}^{d}\sum_{j=1}^{d}[\frac{1}{n_s}\sum_{k=1}^{n_s}(x_{ki}^s-\mu_{si})(x_{kj}^s-\mu_{sj})-\frac{1}{n_t}\sum_{k=1}^{n_t}(x_{ki}^t-\mu_{ti})(x_{kj}^t-\mu_{tj})]^2\end{aligned}$$
然后通过梯度下降等优化算法最小化上述目标函数,学习变换矩阵$W$,即可实现源域到目标域的特征适应。