证明∀x(P(x) ∨ Q(x)) ⊨ ∀xP(x) ∨ ∃xQ(x)

时间: 2023-11-23 12:06:00 浏览: 627
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数学公式证明

为了证明这个命题,我们需要使用语义证明。 假设对于任意的x,都有P(x)或Q(x)成立,即∀x(P(x)∨Q(x))为真。我们需要证明∀xP(x)∨∃xQ(x)也为真。 我们可以通过分情况讨论来证明这个命题: 情况一:存在一个x使得Q(x)成立。根据存在量词的含义,我们可以找到这样的x,记作x0。因此,∃xQ(x)为真。根据析取范式,∀xP(x)∨∃xQ(x)也为真。 情况二:对于任意的x,都有P(x)成立。根据全称量词的含义,我们可以得到∀xP(x)为真。根据析取范式,∀xP(x)∨∃xQ(x)也为真。 综上所述,我们证明了∀x(P(x)∨Q(x)) ⊨ ∀xP(x)∨∃xQ(x)。
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