用谓词逻辑语义方法证明以下结论(10分)。 定理:设x不是R的自由变元,则"x(Q Ú R)╞ "xQ Ú R
时间: 2024-03-07 15:52:21 浏览: 22
为了证明该定理,我们可以使用谓词逻辑语义方法,即根据逻辑公式的真值条件来进行证明。
设x不是R的自由变元,即x在逻辑公式中不出现在R中。
首先,我们需要确定逻辑公式的真值条件。对于一个逻辑公式A,它的真值条件可以用下列方式表示:
A 为真 当且仅当 A 中所有谓词和命题符号的参数都是真的。
A 为假 当且仅当 A 中至少有一个谓词或命题符号的参数是假的。
接下来,我们将使用真值条件来证明该定理。
根据逻辑公式的真值条件,我们可以得到:
"x(Q Ú R) 为真 当且仅当 xQ 为真 或 xR 为真。
"xQ Ú R 为真 当且仅当 xQ 为真 或 R 为真。
因为x不是R的自由变元,所以xR为假,因此我们可以得到以下结论:
如果"x(Q Ú R) 为真,则"xQ 为真 或 R 为真。
这等价于:"x(Q Ú R)╞ "xQ Ú R。
因此,我们证明了定理:"设x不是R的自由变元,则"x(Q Ú R)╞ "xQ Ú R"。
相关问题
用谓词逻辑公理方法证明以下结论(9分)(注:只能用公理系统的公理和规则)。 ├ "xQ(x) ®"y Q(y) (y不在"xQ(x)中出现)
首先,我们需要明确公理系统中的公理和规则:
- 全称引入规则(∀I):如果我们能够针对任意个体 a 证明 P(a),那么我们可以断言 ∀x P(x)。
- 全称消去规则(∀E):如果我们已知 ∀x P(x),那么我们可以把其中的 x 替换成任意个体 a 得到 P(a)。
- 蕴含规则(→I):如果我们假设 P,然后能够证明 Q,那么我们就可以断言 P → Q。
- 模态逻辑公理 K:∀P,Q (□(P→Q) → (□P→□Q))
现在我们来证明所给出的结论:
1. 假设 xQ(x) 成立,即存在一个个体 a 使得 Q(a) 成立。
2. 根据全称引入规则,我们可以断言 ∀y Q(y)。
3. 因为 y 不在假设 xQ(x) 中出现,所以我们可以使用全称消去规则,把其中的 y 替换成 a 得到 Q(a)。
4. 使用蕴含规则,我们可以断言 xQ(x) → Q(a)。
5. 根据模态逻辑公理 K,我们可以把这个蕴含式转化成 □(xQ(x) → Q(a)) → (□xQ(x) → □Q(a))。
6. 因为 xQ(x) 成立,所以 □xQ(x) 成立。
7. 根据 5 和 6,我们可以得到 □Q(a) 成立。
8. 根据全称引入规则,我们可以断言 xQ(x) → □Q(a)。
9. 因此,我们证明了 xQ(x) → ∀y Q(y)。
因此,我们使用谓词逻辑公理方法证明了所给出的结论。
用谓词逻辑语义方法判断下列推论是否成立?若命题成立,给出证明;若命题不成立给出反例。 "x(Q(x) ® R(x))╞ $xQ(x) ® $xR(x)
我们可以使用反证法来判断这个命题是否成立。假设前提成立,但结论不成立,即存在一个解释和一个使前提为真、但结论为假的指派。因为前提中只有一个普遍量词,所以这个指派必须使得条件部分为真而否定部分为假,即存在一个元素a,使得Q(a)为真,但是R(a)为假。
现在我们考虑这个元素a。由前提可知Q(a)→R(a)成立,因此Q(a)为真时R(a)也必须为真。但是我们已经得到R(a)为假的结论,这与我们的假设矛盾。因此,我们可以得出结论:前提成立,结论也成立。即 x(Q(x) → R(x)) ⊢ ¬(∃xQ(x) ∧ ¬∃xR(x))。
证明如下:
假设前提成立,即 x(Q(x) → R(x)) 为真。接着我们需要证明 ¬(∃xQ(x) ∧ ¬∃xR(x)) 也为真。
首先,假设 ∃xQ(x) ∧ ¬∃xR(x) 为真。则存在一个元素a,使得Q(a)为真,但是R(a)为假。因此,Q(a) → R(a)为假,这与前提矛盾。所以,假设不成立,即 ¬(∃xQ(x) ∧ ¬∃xR(x)) 为真。
因此,我们可以得出结论: x(Q(x) → R(x)) ⊢ ¬(∃xQ(x) ∧ ¬∃xR(x))。
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