设某一机器由 n 个部件组成，每一种部件都可以从 m 个不同的供应商处购得。设 wij 是从供应商 j 处购得的部件 i 的重量，cij 是相应的价格。试设计算法，给出总价格不超过 d 的最小重量机器设计，输出最小重量，以及每个部件的供应商。用优先队列式分支限界设计算法，以文字或伪代码的形式描述算法，并给出优先队列中活结点的增加和删除全过程，数据如下： n=3，m=2，d=4； w11=1， w12=2， w21=3， w22=2， w31=1， w32=2； c11=3， c12=1， c21=1， c22=3， c31=1， c32=2。

以下是使用优先队列分支限界法求解该问题的伪代码：

1. 初始化状态空间树的根节点为初始状态
2. 将根节点压入优先队列中，同时初始化最优解为无穷大
3. 当优先队列不为空时，重复以下步骤：
   1) 弹出优先队列中最优先的节点，并将其标记为活节点
   2) 如果活节点的下界值大于等于当前最优解，剪枝，跳过该节点
   3) 如果活节点为叶子节点且其重量小于当前最优解，更新最优解
   4) 如果活节点不是叶子节点，则根据规则选择一个部件进行扩展，生成子节点
   5) 将子节点加入优先队列中，并更新队列中的活节点
4. 输出最小重量和每个部件的供应商

其中，下界值的计算可以采用线性规划方法，即对于每个部件 i，设 xi 表示从哪个供应商购买该部件，则有如下的线性规划模型：

min ∑cijxi
s.t. ∑wijxi ≤ d
     xi ∈ {0, 1, ..., m-1}

其中，第一个约束条件保证总价格不超过 d，第二个约束条件保证每个部件只能从一个供应商购买。将该线性规划模型转化为标准形式后，即可使用单纯形法求解，得到下界值。

优先队列中的活节点是按照下界值从小到大排序的，因此，当有新的节点加入队列时，需要重新排序。同时，当队列中的某个节点被扩展后，也需要重新计算其下界值，并更新队列中的位置。具体实现可以使用堆数据结构。

相关问题

设某一机器由 n 个部件组成，每一种部件都可以从 m 个不同的供应商处购得。设 wij 是从供应商 j 处购得的部件 i 的重量， cij 是相应的价格。 设计一个优先队列式分支限界法，给出总价格不超过 d 的最小重量机器设计代码

以下是一个 Python 代码实现：

import heapq

def min_weight(n, m, w, c, d):
    # 定义一个状态：(已选的部件集合，当前总重量，当前总价格)
    state = ([], 0, 0)
    heap = [state]  # 优先队列，初始状态入队
    min_weight = float('inf')  # 最小重量初始为无穷大
    while heap:
        curr = heapq.heappop(heap)  # 取出当前状态
        selected, weight, cost = curr
        if cost > d:  # 如果当前价格已经超过限制，则剪枝
            continue
        if len(selected) == n:  # 如果已选的部件数达到了 n，则更新最小重量
            min_weight = min(min_weight, weight)
            continue
        for j in range(m):  # 枚举每个供应商
            new_selected = selected + [j]  # 加入该供应商的部件
            new_weight = weight + sum(w[i][j] for i in new_selected)  # 更新总重量
            new_cost = cost + sum(c[i][j] for i in new_selected)  # 更新总价格
            new_state = (new_selected, new_weight, new_cost)
            heapq.heappush(heap, new_state)  # 将新状态加入优先队列
    return min_weight

其中，参数 `n` 表示部件数量，`m` 表示供应商数量，`w` 和 `c` 分别是部件重量和价格的二维数组，`d` 表示价格上限。函数返回最小重量。

该算法使用了优先队列来实现分支限界，具体思路是，每次从队列中取出当前状态，枚举每个供应商，加入该供应商的部件，计算新的重量和价格，并将新状态加入优先队列。如果当前价格已经超过限制，则剪枝；如果已选的部件数达到了 n，则更新最小重量。最终，优先队列中保存的状态都是价格不超过 d 的状态，从中选取最小重量即可。

设某一机器由n个部件组成，每种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设wij是从供应商j处购得的部件i的重量，cij是对应的价格。使用回溯算法，给出总价格不超过c的最小重量机器设计c语言程序

以下是使用回溯算法实现的C语言程序：

#include<stdio.h>
#include<limits.h>

#define MAX_N 100 // 最大部件数
#define MAX_M 100 // 最大供应商数

int n, m; // 部件数、供应商数
int w[MAX_N][MAX_M]; // 重量
int c[MAX_N][MAX_M]; // 价格
int best_w[MAX_N]; // 当前最优解的部件重量
int cur_w[MAX_N]; // 当前解的部件重量
int cur_c; // 当前解的总价格
int best_c; // 当前最优解的总价格

void backtrack(int i, int cur_wt, int cur_co) {
    if (i == n) { // 已经选择完所有部件
        if (cur_co < best_c) { // 更新最优解
            best_c = cur_co;
            for (int j = 0; j < n; j++)
                best_w[j] = cur_w[j];
        }
        return;
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) { // 遍历第i个部件的m个供应商
        cur_w[i] = w[i][j];
        cur_c += c[i][j];
        if (cur_c <= cur_co && cur_wt + cur_w[i] < best_w[i]) { // 剪枝
            backtrack(i + 1, cur_wt + cur_w[i], cur_c);
        }
        cur_c -= c[i][j];
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            scanf("%d%d", &w[i][j], &c[i][j]);
        }
        best_w[i] = INT_MAX;
    }
    best_c = INT_MAX;
    cur_c = 0;
    backtrack(0, 0, INT_MAX);
    printf("最小重量为：%d\n", best_wt);
    printf("总价格不超过%d的最小重量机器设计为：", best_c);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d ", best_w[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

程序的核心是 `backtrack` 函数，它按顺序选择每个部件的供应商，直到选择完所有部件，然后更新最优解。在选择第i个部件的供应商时，需要进行一些剪枝操作，以减少不必要的搜索。具体来说，如果当前总价格已经超过了限制，或者当前部件的重量已经超过了当前最优解的重量，就可以直接返回上一层，不再继续搜索。