对于以下5个数据点(0,1)，（0.75，0.816），（1，0.728），（2，0.733），（4，0.864）。用拉格朗日插值法求出该2次插值多项式（取3个点）。用拉格朗日余项估计该两次插值多项式中的插值误差？写下计算过程。

拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，可以通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近未知函数，在这个问题中，我们需要构造一个二次多项式函数来逼近给定的5个数据点。

首先，我们需要选择3个数据点来构造二次插值多项式。为了使插值多项式更加准确，我们可以选择距离目标点最近的3个数据点。假设我们选择的3个数据点分别为（0.75，0.816），（1，0.728）和（2，0.733），则插值多项式可以表示为：

$$
P_2(x) = 0.816\frac{(x-1)(x-2)}{(0.75-1)(0.75-2)} + 0.728\frac{(x-0.75)(x-2)}{(1-0.75)(1-2)} + 0.733\frac{(x-0.75)(x-1)}{(2-0.75)(2-1)}
$$

化简后得到：

$$
P_2(x) = -0.416x^2 + 2.301x - 1.104
$$

接下来，我们需要使用拉格朗日余项来估计插值误差。拉格朗日余项公式如下：

$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)
$$

其中，$f^{(n+1)}(\xi(x))$ 表示原函数在区间 $[x_0,x_n]$ 上的 $(n+1)$ 阶导数，$\xi(x)$ 是区间 $[x_0,x_n]$ 上的某个点。

在这个问题中，我们需要计算二次插值多项式 $P_2(x)$ 在 $x=4$ 处的插值误差。由于我们选择的3个数据点距离目标点较远，因此估计误差可能会比较大。根据拉格朗日余项公式，我们需要计算 $P_2(x)$ 在 $[0.75,2]$ 区间内的二阶导数。由于 $P_2(x)$ 是一个二次函数，其二阶导数为常数 $-0.416$，因此可以将该值代入公式计算余项：

$$
R_2(4) = \frac{f^{(3)}(\xi(4))}{3!}\prod_{i=0}^2(4-x_i)
$$

由于 $\xi(4)$ 未知，我们无法直接计算 $f^{(3)}(\xi(4))$。不过，我们可以利用中值定理来估计 $f^{(3)}(\xi(4))$ 的取值。具体来说，我们可以选择一个介于 $[0.75,2]$ 区间的点 $\xi$，使得 $f^{(3)}(\xi)$ 等于 $P_2(x)$ 在 $[0.75,2]$ 区间内的三阶导数。由于 $P_2(x)$ 是一个二次函数，其三阶导数为零，因此我们可以任选一个点 $\xi$，比如取 $\xi=1.375$，则有：

$$
f^{(3)}(\xi) = P_2^{(3)}(\xi) = 0
$$

将上述结果代入拉格朗日余项公式，得到：

$$
R_2(4) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\prod_{i=0}^2(4-x_i) = 0
$$

因此，利用拉格朗日插值法得到的二次插值多项式 $P_2(x)$ 在 $x=4$ 处的插值误差为零。这意味着，$P_2(x)$ 可以完美地拟合原函数在 $x=4$ 处的取值。