求出y"(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)在输入f(t)=sin(1/2*pi*t)时的零状态响应并用matlab代码表示

我们先求出该系统的特征方程和特解，然后通过线性叠加原理求出零状态响应。

1. 特征方程

s^2 + 4s + 4 = 0

解得：s=-2

因此，特征根为重根 -2，该系统的通解为：

y(t) = c1 * e^(-2t) + c2 * t * e^(-2t)

2. 特解

对于输入信号 f(t) = sin(1/2*pi*t)，我们可以猜测特解的形式为：

y_p(t) = A * sin(1/2*pi*t) + B * cos(1/2*pi*t)

将 y_p(t) 代入系统的微分方程，得：

-1/4 * A * pi^2 * sin(1/2*pi*t) - 1/4 * B * pi^2 * cos(1/2*pi*t) + 2A * pi * cos(1/2*pi*t) - 2B * pi * sin(1/2*pi*t) + 4A * sin(1/2*pi*t) + 4B * cos(1/2*pi*t) = 1/2 * pi * cos(1/2*pi*t)

解得：

A = -1/2*pi/6, B = 0

3. 零状态响应

根据线性叠加原理，系统的零状态响应为：

y_z(t) = y(t) + y_p(t)

因此，我们可以使用 Matlab 代码实现：

% 求解零状态响应
t = 0:0.01:10;
y = exp(-2 .* t) .* (1 - 2 .* t);
yp = -1/(2*pi/6) * sin(1/2*pi.*t);
yz = y + yp;

% 绘制零状态响应和输入信号的图像
subplot(2, 1, 1);
plot(t, yz);
title('Zero State Response');
xlabel('t');
ylabel('y_z(t)');

subplot(2, 1, 2);
f = sin(1/2*pi.*t);
plot(t, f);
title('Input Signal');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

其中，输入信号 f(t) 的图像可视化输入信号 sin(1/2*pi*t)来表示。