Cov(Y, X1) = a1 * Cov(X1, X1) + a2 * Cov(X1, X2)从何而来
时间: 2023-12-17 17:03:33 浏览: 34
这个公式是协方差的线性性质,即对于任意两个随机变量X和Y,以及任意两个常数a和b,有:
Cov(aX + bY, Z) = a * Cov(X, Z) + b * Cov(Y, Z)
其中,Z是另一个随机变量。当Z=X1时,上述公式可以表示为:
Cov(aX + bY, X1) = a * Cov(X, X1) + b * Cov(Y, X1)
将a1和a2代入X和Y,可以得到:
Cov(Y, X1) = a1 * Cov(X1, X1) + a2 * Cov(X2, X1)
因此,公式Cov(Y, X1) = a1 * Cov(X1, X1) + a2 * Cov(X1, X2)成立。
相关问题
Y=a*x1+b*x2+c*x3,求cov(Y,X1)
根据协方差的定义,有:
cov(Y,X1) = E[(Y-μy)(X1-μx1)]
其中,E表示期望,μy和μx1分别为Y和X1的期望。
将Y代入上式,得到:
cov(Y,X1) = E[(a*x1 + b*x2 + c*x3 - μy)(x1 - μx1)]
展开后,可得:
cov(Y,X1) = a*E[(x1-μx1)^2] + b*E[(x1-μx1)(x2-μx2)] + c*E[(x1-μx1)(x3-μx3)]
其中,E[(x1-μx1)^2]为X1的方差,E[(x1-μx1)(x2-μx2)]为X1和X2的协方差,E[(x1-μx1)(x3-μx3)]为X1和X3的协方差。
因此,cov(Y,X1) = a*σx1^2 + b*cov(X1,X2) + c*cov(X1,X3)。其中,σx1^2为X1的方差。
解释 int nSize = pdPoints.size(); if (nSize < 3) { return; } vector<double>vdX; vector<double>vdY; double dMeanX = 0, dMeanY = 0; for (Point2d p : pdPoints) { vdX.push_back(p.x); vdY.push_back(p.y); dMeanX += p.x; dMeanY += p.y; } dMeanX /= (nSize * 1.); dMeanY /= (nSize * 1.); double Xi = 0, Yi = 0, Zi = 0; double Mz = 0, Mxy = 0, Mxx = 0, Myy = 0, Mxz = 0, Myz = 0, Mzz = 0, Cov_xy = 0, Var_z=0; double A0 = 0, A1 = 0, A2 = 0, A22 = 0; double Dy = 0, xnew = 0, x = 0, ynew = 0, y = 0; double DET = 0, Xcenter = 0, Ycenter = 0; for (int i = 0; i < nSize; i++) { Xi = vdX[i] - dMeanX; // centered x-coordinates Yi = vdY[i] - dMeanY; // centered y-coordinates Zi = Xi * Xi + Yi * Yi; Mxy += Xi * Yi; Mxx += Xi * Xi; Myy += Yi * Yi; Mxz += Xi * Zi; Myz += Yi * Zi; Mzz += Zi * Zi; } Mxx /= (nSize * 1.); Myy /= (nSize * 1.); Mxy /= (nSize * 1.); Mxz /= (nSize * 1.); Myz /= (nSize * 1.); Mzz /= (nSize * 1.); Mz = Mxx + Myy; Cov_xy = Mxx * Myy - Mxy * Mxy; Var_z = Mzz - Mz * Mz; A2 = 4.0 * Cov_xy - 3.0 * Mz * Mz - Mzz; A1 = Var_z * Mz + 4.0 * Cov_xy * Mz - Mxz * Mxz - Myz * Myz; A0 = Mxz * (Mxz * Myy - Myz * Mxy) + Myz * (Myz * Mxx - Mxz * Mxy) - Var_z * Cov_xy; A22 = A2 + A2; // finding the root of the characteristic polynomial // using Newton's method starting at x=0 // (it is guaranteed to converge to the right root) x = 0., y = A0; for (int i = 0; i < 99; i++) // usually, 4-6 iterations are enough { Dy = A1 + x * (A22 + 16. * x * x); xnew = x - y / Dy; if ((xnew == x) || (!isfinite(xnew))) { break; } ynew = A0 + xnew * (A1 + xnew * (A2 + 4.0 * xnew * xnew)); if (abs(ynew) >= abs(y)) { break; } x = xnew; y = ynew; } DET = x * x - x * Mz + Cov_xy; Xcenter = (Mxz * (Myy - x) - Myz * Mxy) / DET / 2.0; Ycenter = (Myz * (Mxx - x) - Mxz * Mxy) / DET / 2.0; dRadius = sqrt(Xcenter * Xcenter + Ycenter * Ycenter + Mz - x - x); pdCenter = Point2d(Xcenter + dMeanX, Ycenter + dMeanY);
这段代码实现了一个使用最小二乘法进行圆形拟合的算法。给定一组二维坐标点,该算法的目标是找到一个最优的圆形,使得该圆形与这些点的距离的平方和最小。
具体来说,这段代码的实现步骤如下:
1. 如果输入的二维坐标点个数小于3,则直接返回。
2. 将所有二维坐标点的x、y坐标分别存储到两个vector类型的数组vdX、vdY中,并计算这些点的重心坐标。
3. 根据平移后的二维坐标点,计算它们的协方差矩阵,并计算出该矩阵的特征向量和特征值。
4. 根据特征向量和特征值计算出一个最优的圆心坐标和半径长度。
5. 将计算出的圆心坐标和半径长度还原为原始坐标系中的坐标和长度。
在具体实现过程中,该算法使用了一些变量来存储计算过程中的中间结果,并采用了牛顿迭代法来寻找特征值的根。最终,该算法将圆形的半径和圆心坐标存储在dRadius和pdCenter参数中,以便后续使用。