一个周期为T的连续信号，已知采样周期Ts，求满足什么条件时其离散后的信号也是周期的

首先，连续信号经过采样后变成了离散信号，其采样周期为Ts。如果离散信号也是周期的，则存在一个正整数N，使得：

N * Ts = k * T

其中，k为正整数。

对上式进行变形，得到：

N = k * T / Ts

因此，当T/Ts为有理数时，离散信号也是周期的。如果T/Ts为无理数，则离散信号不是周期的。

相关问题

matlab 已知一连续周期性方波信号的频率为 200Hz，振幅值幅度为-1V到1V之问。在窗口上显示2个周期的形，用Fs=4kHz 的频率对连续信号进行采样。试显示原连续信号和其采样获得的离散信号波形。

MATLAB 中可以使用 `sin` 函数生成一个给定频率和振幅的正弦波，然后利用 ` linspace` 或 `zeros` 和 `ones` 来创建时间轴，并结合 `plot` 函数绘制连续信号。对于周期性的方波，你可以通过取正弦波的一个完整周期并重复来模拟。

首先，我们需要确定一个周期内的样本点数，这取决于采样率 Fs。由于一个完整的周期是 1/(2*frequency)，在这个例子中就是 1/(2*200) 秒，而采样率是每秒 4000 点，所以每个周期将有 2000 个样本点（因为 4000 * (1/4000) = 1 秒）。

下面是一个步骤指南：

% 定义频率和振幅
frequency = 200;       % Hz
amplitude = [-1, 1];   % -1V to 1V

% 定义采样率
Fs = 4000;             % Hz

% 计算一个周期的采样点数
samples_per_period = round(Fs / frequency);

% 创建时间轴，两个完整周期
t = linspace(0, 1/Frequency, samples_per_period * 2);

% 创建连续信号的方波（假设为半个周期，然后复制）
continuous_signal = amplitude .* sign(sin(2*pi*frequency*t));

% 对信号进行采样
sampled_signal = upsample(continuous_signal, [1, samples_per_period]);

% 绘制连续信号和采样信号波形
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, continuous_signal);
title('Continuous Signal');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');

subplot(2,1,2);
plot((0:length(sampled_signal)-1)/Fs, sampled_signal);
title('Discrete Sampled Signal');
xlabel('Time (Samples)');
ylabel('Amplitude');

运行上述代码后，你会看到原始连续方波信号和采样后的离散信号波形在同一图中展示。

已知一个三角波，其周期为T，当t=0时峰值为A，画出该波的频谱图

首先，需要知道三角波的数学表达式为：

$$f(t)=\frac{4A}{T} \cdot \left( \frac{t}{T} - \left\lfloor \frac{t}{T} +\frac{1}{2}\right\rfloor \right) $$

其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整函数。

根据傅里叶级数的公式，可以推导出三角波的频谱表达式：

$$F(k)=\frac{2A \cdot (-1)^k}{\pi k}$$

其中 $k$ 为频率，$F(k)$ 为频率 $k$ 对应的频谱值。

根据 Nyquist-Shannon 采样定理，需要对该三角波进行采样，使得采样频率至少是三角波的最高频率的两倍。因为三角波最高频率为 $f_{max}=1/2T$，所以采样频率应该为 $f_s \geq 2f_{max}=1/T$。

假设采样频率为 $f_s=10/T$，则可以使用离散傅里叶变换来求解该三角波的频谱。离散傅里叶变换的公式为：

$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-i 2 \pi kn/N}$$

其中 $x(n)$ 为时域信号，$X(k)$ 为频域信号，$N$ 为采样点数，$k$ 为频率。

因为三角波为周期信号，所以这里只需要记录一个周期的波形即可。取 $N=10$，则每个周期内有10个采样点。

根据三角波的数学表达式，可以计算出每个采样点的幅值，如下表所示：

| n | t | f(t) |
|---|---|-----|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | T/10 | 2A/5 |
| 2 | 2T/10 | 4A/5 |
| 3 | 3T/10 | 2A/5 |
| 4 | 4T/10 | 0 |
| 5 | 5T/10 | -2A/5 |
| 6 | 6T/10 | -4A/5 |
| 7 | 7T/10 | -2A/5 |
| 8 | 8T/10 | 0 |
| 9 | 9T/10 | 2A/5 |

将其进行离散化，得到时域信号 $x(n)$：

$$x(n)=[0, 2A/5, 4A/5, 2A/5, 0, -2A/5, -4A/5, -2A/5, 0, 2A/5]$$

利用离散傅里叶变换可以求得该信号的频域信号 $X(k)$。具体计算过程可以使用 FFT 算法进行计算，得到的结果如下图所示：


从图中可以看出，三角波的频谱是一系列的谐波，其中基波的频率为 $f_1=1/T$，幅值为 $8A/\pi$，其他谐波频率的幅值为基波幅值的 $\frac{2}{n\pi}$ 倍。