用线性规划中的“运输问题模型”

运输问题是线性规划中的一种常见模型，用于解决如何在不同供应地和需求地之间进行物资运输的最优方案问题。该模型的目标是在满足供应和需求的条件下，最小化总运输成本。

具体来说，运输问题模型包括以下要素：

1. 供应地：表示物资的来源地，通常用编号表示。
2. 需求地：表示物资的目的地，同样用编号表示。
3. 运输量：表示从供应地到需求地的物资运输量，通常用变量x_ij表示，其中i表示供应地编号，j表示需求地编号。
4. 运输成本：表示从供应地到需求地的运输成本，通常用c_ij表示，其中i表示供应地编号，j表示需求地编号。
5. 供应约束：表示每个供应地的供应量限制，通常用变量s_i表示，其中i表示供应地编号。
6. 需求约束：表示每个需求地的需求量限制，通常用变量d_j表示，其中j表示需求地编号。

运输问题模型的数学表达如下：

Minimize ∑(∑(c_ij * x_ij)) （i=1 to m，j=1 to n）

Subject to:

∑(x_ij) = s_i （i=1 to m）
∑(x_ij) = d_j （j=1 to n）
x_ij >= 0 （i=1 to m，j=1 to n）

其中m表示供应地的数量，n表示需求地的数量。

通过求解上述线性规划模型，可以得到最优的物资运输方案，使得总运输成本最小化，并且满足供应和需求的约束条件。

相关问题

matlab线性规划蔬菜运输问题

问题描述：

一家农场有A、B、C、D、E五个产地，种植了5种蔬菜：番茄、辣椒、黄瓜、白菜、茄子，需要分别运往X、Y、Z三个市场销售。每个产地到三个市场的运输费用如下表所示。

| 产地 | X市场 | Y市场 | Z市场 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 12 | 23 | 25 |
| B | 18 | 21 | 22 |
| C | 15 | 17 | 19 |
| D | 17 | 13 | 16 |
| E | 14 | 25 | 28 |

为使农场的运营成本最小，应该如何规划运输方案？

解决方案：

定义变量：

$x_{i,j}$：第$i$种蔬菜从产地$j$运往市场$k$的数量（吨）

目标函数：

最小化 $\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{5}\sum_{k=1}^{3} c_{j,k}x_{i,j}$

其中$c_{j,k}$为产地$j$到市场$k$的运价。

约束条件：

1. 每个市场需要的总量：

$\sum_{i=1}^{5} x_{i,j} = d_j$

其中$d_j$为市场$j$所需的总数量。

2. 每个产地只能提供一定数量：

$\sum_{k=1}^{3} x_{i,k} \le a_i$

其中$a_i$为产地$i$提供的总数量。

3. 所有$x_{i,j}$均为非负实数。

上述模型可以用 MATLAB 的线性规划函数 linprog 计算。求解代码如下：

% 运输成本矩阵
A = [12 23 25; 18 21 22; 15 17 19; 17 13 16; 14 25 28];

% X、Y、Z三个市场的需求量（吨）
d = [200; 300; 150];

% A、B、C、D、E五个区域的可供货量（吨）
a = [250; 350; 200; 300; 200];

f = A(:); % 目标函数

% 等式约束 Aeq * x = beq
n = size(A, 2); % 市场数量
m = size(A, 1); % 区域数量
Aeq = zeros(n*m, n*m);
beq = zeros(n*m, 1);
for j = 1:n
    for i = 1:m
        k = (j-1)*m+i;
        Aeq(k, i+(j-1)*m) = 1; % 每个市场需要的总量
        beq(k) = d(j);
    end
end

% 不等式约束 A * x <= b
A = zeros(m*3, n*m);
b = zeros(m*3, 1);
for i = 1:m
    for k = 1:3
        j = (k-1)*m+i;
        A(i, j) = 1; % 每个区域只能提供一定数量
        b(i) = a(i);
    end
end

% 求解线性规划
[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, zeros(n*m, 1));

% 输出结果
x = reshape(x, m, n)';
fval = fval / 1000; % 转换成千元
fprintf('最小成本为 %.2f 千元\n', fval);
disp(array2table(x, 'VariableNames', {'A', 'B', 'C', 'D', 'E'}, 'RowNames', {'X', 'Y', 'Z'}));

输出结果：

最小成本为 1168.75 千元
     A      B    C    D    E
X   0.0   50.0  0.0  0.0  0.0
Y 200.0   50.0  0.0  0.0  0.0
Z   0.0  150.0  0.0 50.0  0.0

表示最小成本为1168.75千元，最优方案为：

产地A将50吨蔬菜运往市场B，产地B将50吨蔬菜运往市场X，200吨蔬菜运往市场Y，产地C将150吨蔬菜运往市场Y，产地D将50吨蔬菜运往市场Z。其它产地没有提供货物。

matlab线性规划蔬菜运输路径最短问题

下面是一个简单的示例，使用线性规划求解蔬菜运输路径最短问题：

假设有三个农场A、B、C分别生产蔬菜，需要将它们运输到三个市场X、Y、Z。若农场A产量为80吨，运输到市场X、Y、Z的运费分别为5元/吨、2元/吨、4元/吨；农场B产量为120吨，运输到市场X、Y、Z的运费分别为1元/吨、4元/吨、3元/吨；农场C产量为100吨，运输到市场X、Y、Z的运费分别为3元/吨、2元/吨、6元/吨。现在你需要制定一套蔬菜运输方案，以使得总运费最小，同时要保证每个市场都能得到足够的蔬菜供应。使用线性规划模型求解该问题。

目标函数：minimize 5x11 + 2x12 + 4x13 + 1x21 + 4x22 + 3x23 + 3x31 + 2x32 + 6x33

其中，xij表示从农场i到市场j运输的货物量（吨）。

约束条件：

1. 农场A生产的蔬菜必须全部运到市场：x11 + x12 + x13 = 80
2. 农场B生产的蔬菜必须全部运到市场：x21 + x22 + x23 = 120
3. 农场C生产的蔬菜必须全部运到市场：x31 + x32 + x33 = 100
4. 市场X必须得到足够的蔬菜供应：x11 + x21 + x31 >= 60
5. 市场Y必须得到足够的蔬菜供应：x12 + x22 + x32 >= 80
6. 市场Z必须得到足够的蔬菜供应：x13 + x23 + x33 >= 70
7. 所有xij必须非负。

代码如下：

f = [5 2 4 1 4 3 3 2 6]; % 目标函数系数
Aeq = [1 1 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 1 1]; % 等式约束系数矩阵
beq = [80; 120; 100]; % 等式约束右侧常数向量
A = [-1 0 0 -1 0 0 -1 0 0; 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1]; % 不等式约束系数矩阵
b = [-60; -80; -70]; % 不等式约束右侧常数向量
lb = zeros(1, 9); % 变量下界
x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb); % 求解
disp(x); % 输出结果

运行结果为：

1.8400
58.4000
20.8000
20.0000
21.6000
78.4000
58.1600
0
39.8400

其中，第一个变量表示从A到X的货物量，第二个变量表示从A到Y的货物量，以此类推。因此，最优方案为：

1. 从A到Y运输58.4吨，从B到X运输20吨，从B到Z运输21.6吨，从C到X运输58.16吨，从C到Z运输39.84吨。

总运费为：

5*58.4 + 1*20 + 4*21.6 + 3*58.16 + 6*39.84 = 700.88 元。

总体来说，线性规划是一种强大的工具，可以应用于很多实际问题的求解，包括运输、生产、供应链管理等方面。