复合函数的微分法有几种
时间: 2023-11-27 14:35:51 浏览: 57
复合函数的微分法有两种,链式法则和反函数法则。
1. 链式法则:设函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 均可导,则复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数为
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f'(u)\cdot g'(x)
$$
2. 反函数法则:设函数 $y=f(x)$ 在 $x$ 处可导,且 $f'(x)\neq0$,则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=f(x)$ 的对应点 $y_0=f(x_0)$ 处可导,且有
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}\bigg|_{x=f^{-1}(y)}
$$
此时,对于复合函数 $y=f(g(x))$,其导数也可以用反函数法则求得:
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{g'(x)}\cdot f'(u)=\frac{1}{g'(x)}\cdot f'\big(g(x)\big)
$$
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