xy轴函数图像的极限与连续性：函数行为的深入探究，掌握函数的极限与连续性，理解函数的收敛性

# 1. 函数极限的理论基础

极限是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在输入接近某个值时输出的行为。极限的理论基础包括以下几个方面：

- **函数极限的定义：**设函数 f(x) 在 x0 处有定义，如果存在一个实数 L，使得对于任意给定的正数 ε，总存在一个正数 δ，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在 x0 处极限为 L，记作 limx→x0 f(x) = L。
- **极限的性质：**极限具有以下性质：
- 线性性：若 limx→x0 f(x) = L1，limx→x0 g(x) = L2，则 limx→x0 (af(x) + bg(x)) = aL1 + bL2，其中 a 和 b 为常数。
- 乘法性：若 limx→x0 f(x) = L1，limx→x0 g(x) = L2，则 limx→x0 f(x)g(x) = L1L2。
- 幂次定理：若 limx→x0 f(x) = L，n 为正整数，则 limx→x0 (f(x))^n = L^n。
- 连续函数的极限：若函数 f(x) 在 x0 处连续，则 limx→x0 f(x) = f(x0)。

# 2. 函数极限的计算技巧

### 2.1 一侧极限与双侧极限

#### 2.1.1 一侧极限的定义和性质

**定义：**

对于函数 f(x)，如果存在一个实数 L，使得当 x 趋近于 a 的正方向（即 x > a）时，f(x) 趋近于 L，则称 f(x) 在 x = a 处存在右极限，记作：

lim_(x->a+) f(x) = L

类似地，如果存在一个实数 L，使得当 x 趋近于 a 的负方向（即 x < a）时，f(x) 趋近于 L，则称 f(x) 在 x = a 处存在左极限，记作：

lim_(x->a-) f(x) = L

**性质：**

* 如果 f(x) 在 x = a 处存在左极限和右极限，且相等，则称 f(x) 在 x = a 处存在极限。
* 如果 f(x) 在 x = a 处存在极限，则其左极限和右极限也存在，且等于极限值。
* 如果 f(x) 在 x = a 处存在右极限，则存在一个 δ > 0，使得当 0 < x - a < δ 时，有 |f(x) - L| < ε。
* 如果 f(x) 在 x = a 处存在左极限，则存在一个 δ > 0，使得当 -δ < x - a < 0 时，有 |f(x) - L| < ε。

#### 2.1.2 双侧极限的定义和性质

**定义：**

如果 f(x) 在 x = a 处存在左极限和右极限，且相等，则称 f(x) 在 x = a 处存在极限，记作：

lim_(x->a) f(x) = L

**性质：**

* 如果 f(x) 在 x = a 处存在双侧极限，则 f(x) 在 x = a 处存在极限，且极限值等于双侧极限值。
* 如果 f(x) 在 x = a 处存在极限，则 f(x) 在 x = a 处存在双侧极限，且双侧极限值等于极限值。
* 如果 f(x) 在 x = a 处存在双侧极限，则存在一个 δ > 0，使得当 |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε。

### 2.2 无穷小量与无穷大量

#### 2.2.1 无穷小量的定义和性质

**定义：**

对于函数 f(x)，如果存在一个正数 M，使得当 |x - a| < M 时，有 |f(x)| < ε，则称 f(x) 在 x = a 处为无穷小量，记作：

lim_(x->a) f(x) = 0

**性质：**

* 无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。
* 无穷小量与有限数的积仍为无穷小量。
* 无穷小量与无穷小量的商不一定是无穷小量。

#### 2.2.2 无穷大类的定义和性质

**定义：**

对于函数 f(x)，如果存在一个正数 M，使得当 |x - a| < M 时，有 |f(x)| > A，则称 f(x) 在 x = a 处为无穷大量，记作：

lim_(x->a) f(x) = ∞

**性质：**

* 无穷大量的和、差、积仍为无穷大量。
* 无穷大量与有