xy轴坐标系与函数图像：函数关系的几何表达，用坐标系理解函数的奥秘

# 1. 坐标系与函数图像的基础

坐标系是描述空间位置的一种数学工具，它由两条相互垂直的数轴组成，分别称为 x 轴和 y 轴。坐标系中的每个点都由一对有序数 (x, y) 表示，其中 x 是点到 y 轴的距离，y 是点到 x 轴的距离。

函数图像是在坐标系中表示函数关系的图形。对于函数 f(x)，其图像由所有点 (x, f(x)) 组成。函数图像可以直观地显示函数的性质，如单调性、对称性和周期性。

# 2 函数图像的几何性质

### 2.1 函数图像的单调性

#### 2.1.1 单调递增和单调递减

**定义：**

* **单调递增：**如果函数 f(x) 在区间 I 上对于任意 x1, x2 ∈ I，满足 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2)。
* **单调递减：**如果函数 f(x) 在区间 I 上对于任意 x1, x2 ∈ I，满足 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2)。

#### 2.1.2 单调性的判断方法

**一阶导数法：**

* 如果 f'(x) > 0，则 f(x) 在 x 处单调递增。
* 如果 f'(x) < 0，则 f(x) 在 x 处单调递减。

**二阶导数法：**

* 如果 f''(x) > 0，则 f(x) 在 x 处为凹函数，单调递增。
* 如果 f''(x) < 0，则 f(x) 在 x 处为凸函数，单调递减。

**代码示例：**

def is_monotonic(f, x):
  """判断函数 f(x) 在 x 处是否单调。

  Args:
    f: 函数。
    x: 点。

  Returns:
    True 如果 f(x) 在 x 处单调，否则 False。
  """

  if f'(x) > 0:
    return True
  elif f'(x) < 0:
    return False
  else:
    return None

**逻辑分析：**

该函数通过计算函数 f(x) 在点 x 处的导数来判断其单调性。如果导数大于 0，则函数在该点单调递增；如果导数小于 0，则函数在该点单调递减；否则，函数在该点可能不单调。

### 2.2 函数图像的对称性

#### 2.2.1 关于原点对称

**定义：**

如果对于任意点 (x, y) ∈ f(x)，都有 (-x, -y) ∈ f(x)，则函数 f(x) 关于原点对称。

**代码示例：**

def is_symmetric_about_origin(f):
  """判断函数 f(x) 是否关于原点对称。

  Args:
    f: 函数。

  Returns:
    True 如果 f(x) 关于原点对称，否则 False。
  """

  for x in range(-10, 10):
    if (x, f(x)) not in f(-x, -f(x)):
      return False

  return True

**逻辑分析：**

该函数通过遍历一个范围内的点，检查每个点及其关于原点的对称点是否在函数中。如果所有点都满足对称性，则函数关于原点对称；否则，函数不关于原点对称。

#### 2.2.2 关于直线对称

**定义：**

如果对于任意点 (x, y) ∈ f(x)，都有 (x, -y) ∈ f(x)，则函数 f(x) 关于直线 y = 0 对称。

**代码示例：**

def is_symmetric_about_line_y_equals_0(f):
  """判断函数 f(x) 是否关于直线 y = 0 对称。

  Args:
    f: 函数。

  Returns:
    True 如果 f(x) 关于直线 y = 0 对称，否则 False。
  """

  for x in range(-10, 10):
    if (x, f(x)) not in f(x, -f(x)):
      return False

  return True

**逻辑分析：**

该函数与判断关于原点对称的函数类似，但它检查每个点及其关于直线 y = 0 的对称点是否在函数中。如果所有点都满足对称性，则函数关于直线 y = 0 对称；否