matlab实现有限元分析

有限元分析在MATLAB中的实现需要以下步骤：

1. 确定结构的几何形状和边界条件。

2. 将结构离散化为小的元素，例如三角形或四边形元素。

3. 将每个元素的节点编号，确定节点的坐标。

4. 建立刚度矩阵和载荷向量。

5. 将所有元素的刚度矩阵和载荷向量组合成全局刚度矩阵和载荷向量。

6. 应用边界条件，例如固定某些节点或施加力。

7. 解线性方程组，得出节点的位移。

8. 计算每个元素的应变和应力。

下面是一个简单的有限元分析MATLAB程序的示例：

% 定义结构的几何形状和边界条件
L = 1; % 结构长度
W = 0.2; % 结构宽度
h = 0.05; % 结构厚度
E = 70e9; % 杨氏模量
nu = 0.3; % 泊松比
P = -10e3; % 施加的力

% 定义划分的单元格
nx = 10; % x 方向上的单元格数
ny = 2; % y 方向上的单元格数

% 计算单元格的大小
dx = L / nx;
dy = W / ny;

% 定义节点坐标
[X, Y] = meshgrid(0:dx:L, 0:dy:W);
X = X(:);
Y = Y(:);

% 定义节点编号
nNodes = (nx + 1) * (ny + 1);
nodeID = reshape(1:nNodes, nx + 1, ny + 1)';
nodeID = nodeID(:);

% 定义单元格和节点之间的关系
elemID = zeros(nx * ny, 4);
for i = 1:nx
    for j = 1:ny
        n1 = (ny + 1) * (i - 1) + j;
        n2 = (ny + 1) * i + j;
        elemID((i - 1) * ny + j, :) = [n1 n2 n2 + 1 n1 + 1];
    end
end

% 定义每个单元格的材料特性
D = E / (1 - nu^2) * [1 nu 0; nu 1 0; 0 0 (1 - nu) / 2];

% 计算每个单元格的刚度矩阵和载荷向量
nElem = size(elemID, 1);
K = zeros(nNodes * 2, nNodes * 2);
F = zeros(nNodes * 2, 1);
for i = 1:nElem
    n = elemID(i, :);
    x = X(n);
    y = Y(n);
    
    % 计算 Jacobian 矩阵和其逆矩阵
    J = [y(2) - y(1), x(1) - x(2); x(2) - x(1), y(1) - y(2)];
    invJ = inv(J);
    
    % 计算每个单元格的刚度矩阵和载荷向量
    [Ke, Fe] = planeStressStiffness(D, h, x, y);
    
    % 组装全局刚度矩阵和载荷向量
    idx = [nodeID(n) * 2 - 1; nodeID(n) * 2];
    K(idx, idx) = K(idx, idx) + invJ' * Ke * invJ;
    F(idx) = F(idx) + Fe;
end

% 应用边界条件
fixedNodes = find(X == 0 | X == L);
fixedDOFs = [fixedNodes * 2 - 1; fixedNodes * 2];
freeDOFs = setdiff(1:nNodes * 2, fixedDOFs);

% 解线性方程组
U = zeros(nNodes * 2, 1);
U(freeDOFs) = K(freeDOFs, freeDOFs) \ F(freeDOFs);

% 计算每个单元格的应变和应力
epsilon = zeros(nElem, 3);
sigma = zeros(nElem, 3);
for i = 1:nElem
    n = elemID(i, :);
    x = X(n);
    y = Y(n);
    
    % 计算 Jacobian 矩阵和其逆矩阵
    J = [y(2) - y(1), x(1) - x(2); x(2) - x(1), y(1) - y(2)];
    invJ = inv(J);
    
    % 计算每个单元格的应变和应力
    [epsilon(i, :), sigma(i, :)] = planeStressStrain(D, h, x, y, invJ * U(nodeID(n) * 2 - 1:nodeID(n) * 2));
end

% 绘制应力图
tri = delaunay(X, Y);
trisurf(tri, X, Y, zeros(size(X)), sigma(:, 1), 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
title('Stress');
colorbar;

这个程序使用了平面应力问题的刚度矩阵和载荷向量计算方法，以及线性三角形元素。你可以根据需要进行修改和扩展。