⑦证明：不存在一个函数f(z),在z=0附近解析，并满足下列条件： f(xn)= 1+(-1) ^n/n=1,2,… n . 其中xn≠0，满足xn不为0(n→∞).

我们假设存在这样的函数 $f(z)$，并设它在 $z=0$ 的邻域内的 Taylor 展开式为：

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$$

根据题目条件，我们有 $f(x_n)=1+(-1)^n/n$，其中 $x_n\neq 0$ 且 $x_n\to 0$。因此，我们可以得到：

$$c_0=1,\qquad c_n x_n^n=\frac{(-1)^n}{n}-\sum_{k=0}^{n-1} c_k x_n^k$$

注意到 $x_n\to 0$，因此对于任何固定的正整数 $m$，当 $n$ 充分大时，$|x_n|^m$ 都会比 $1/n$ 更小。因此，我们可以将上面的等式两边同时乘以 $x_n^m$，并取 $n\to\infty$ 的极限，得到：

$$c_m=0$$

这说明 $f(z)$ 实际上只有常数项，即 $f(z)=1$。然而，这与 $f(x_n)=1+(-1)^n/n$ 相矛盾。因此，假设不成立，不存在这样的函数 $f(z)$。