⑦证明：不存在一个函数f(z),在z=0附近解析，并满足下列条件： f(xn)= 1+(-1) ^n/n=1,2,… n . 其中xn≠0，满足xn不为0(n→∞).

我们假设存在这样的函数 $f(z)$，并设它在 $z=0$ 的邻域内的 Taylor 展开式为：

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$$

根据题目条件，我们有 $f(x_n)=1+(-1)^n/n$，其中 $x_n\neq 0$ 且 $x_n\to 0$。因此，我们可以得到：

$$c_0=1,\qquad c_n x_n^n=\frac{(-1)^n}{n}-\sum_{k=0}^{n-1} c_k x_n^k$$

注意到 $x_n\to 0$，因此对于任何固定的正整数 $m$，当 $n$ 充分大时，$|x_n|^m$ 都会比 $1/n$ 更小。因此，我们可以将上面的等式两边同时乘以 $x_n^m$，并取 $n\to\infty$ 的极限，得到：

$$c_m=0$$

这说明 $f(z)$ 实际上只有常数项，即 $f(z)=1$。然而，这与 $f(x_n)=1+(-1)^n/n$ 相矛盾。因此，假设不成立，不存在这样的函数 $f(z)$。

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⑦证明：不存在一个函数f(z),在z=0附近解析，并满足下列条件： f(In)= 1+(-1) n=1,2,… n . 其中xn≠0，满足xn→0(n→∞).

首先我们可以注意到，当 $n$ 为奇数时，$f(\mathrm{i}n)=0$，而当 $n$ 为偶数时，$f(-\mathrm{i}n)=0$。因此，$f(z)$ 在实轴上必有无穷多个零点。

接下来我们假设存在这样的函数 $f(z)$，并设它在 $z=0$ 的邻域内的 Laurent 展开式为：

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n$$

因为 $f(z)$ 在 $z=0$ 附近解析，所以 $c_n=0$ 对于任何负整数 $n$。

现在我们来考虑这个级数的收敛性。对于任何 $z$，我们有：

$$|f(z)|=\left|1-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n z^n\right|=\left|\frac{1-(-z)^2}{1+z}\right|$$

因此，当 $|z|<1$ 时，$|f(z)|<1$。又因为 $f(z)$ 在实轴上有无穷多个零点，所以根据 Weierstrass 定理，$f(z)$ 在单位圆盘内有一个可去奇点或极点。我们设这个点为 $z_0$。如果 $z_0$ 是可去奇点，那么 $f(z)$ 可以在 $z_0$ 处解析延拓，这与 $z_0$ 是 $f(z)$ 在实轴上的零点矛盾；如果 $z_0$ 是极点，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有一个 Laurent 展开式：

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z-z_0)^n$$

因为 $f(\mathrm{i}n)=0$ 和 $f(-\mathrm{i}n)=0$，所以 $z_0$ 必须是 $\pm\mathrm{i}n$ 中的一个。然而，我们已经知道当 $n$ 趋于无穷大时，$z_0$ 会趋于 $0$，这与 $z_0$ 必须是无穷个 $\pm\mathrm{i}n$ 中的一个矛盾。因此，假设不成立，不存在这样的函数 $f(z)$。

求函数f(z)=arctanz在z=0处的泰勒展式

函数f(z)=arctanz在z=0处的泰勒展式为：

f(z) = z - z^3/3 + z^5/5 - z^7/7 + ...

其中，展开式的系数依次为1，0，-1/3，0，1/5，0，-1/7，0，...，可以发现，系数的奇数项为正，偶数项为0或负数，并且每一项的系数都可以表示为(-1)^(n-1)/(2n-1)，其中n=1,2,3,4,...