不凋谢的击鼓传花的概率问题

如果花不会凋谢，即可以一直传下去，那么花最终落到哪个人手中的概率就不会是均等的了，而是和起始的人有关系。假设起始人为第一个人，那么花最终落到第 $k$ 个人手中的概率可以表示为 $\frac{1}{k}$，其中 $k$ 是 $n$ 和 $m$ 的一个函数。

具体来说，假设有 $n$ 个人围成一圈，起始人为第一个人，每次花都传给旁边的人，不停地传下去。设 $f(n)$ 表示最终花会落到第一个人手中的情况下，花传了多少次，显然有 $f(1) = 1$，因为只有一个人时花传了一次就落到他手中了。

现在考虑 $n\ge 2$ 的情况。假设花第一次传到了第 $m$ 个人手中，那么就变成了 $n-1$ 个人围成一圈，起始人为第 $m+1$ 个人，花需要传 $f(n-1)$ 次才能回到第一个人手中。因此有：$$
f(n) = f(n-1) + m
$$ 接下来需要求出 $m$ 的值，使得最终花落到第 $k$ 个人手中的概率为 $\frac{1}{k}$。假设最终花落到第 $k$ 个人手中，那么在花传了 $f(n)$ 次之后，第 $k$ 个人手中的花就会传回到第一个人手中，因此有：$$
f(n) \equiv 0 \pmod{n}
$$ 这是因为第 $k$ 个人和第一个人之间共有 $k-1$ 个人，因此花需要传 $k-1$ 次才能从第一个人手中传到第 $k$ 个人手中，再传回到第一个人手中，所以有 $f(n) \equiv k-1 \pmod{n}$。将这两个条件结合起来，可以得到：$$
f(n) \equiv f(n-1) + m \equiv m-1 \pmod{n}
$$ 因此，只需要找到 $m$ 的最小正整数解，使得上式成立即可。这个问题可以用一个简单的递归算法求解，具体实现见下面的 Python 代码：