出2个求一阶线性微分方程的题目,给出答案
时间: 2024-04-02 22:35:23 浏览: 25
好的,以下是2个求一阶线性微分方程的题目及其答案:
1. 求解微分方程 $y'+y\tan x=\cos x$,$y(0)=1$。
解:首先将方程改写成标准形式 $y'+p(x)y=q(x)$ 的形式,有 $p(x)=\tan x$,$q(x)=\cos x$。然后求解齐次方程 $y'+y\tan x=0$,即可得到其通解为 $y_h(x)=C\cos x$。接下来求特解 $y_p(x)$,可以猜测 $y_p(x)=A\cos x+B\sin x$,然后代入原方程可得 $A=\frac{1}{2}$,$B=0$,因此 $y_p(x)=\frac{1}{2}\cos x$。于是原方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\cos x+\frac{1}{2}\cos x$。代入初始条件 $y(0)=1$,可得 $C+\frac{1}{2}=1$,解得 $C=\frac{1}{2}$,因此原方程的解为 $y(x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}$。
2. 求解微分方程 $xy'-2y=x^2e^x$。
解:首先将方程改写成标准形式 $y'+p(x)y=q(x)$ 的形式,有 $p(x)=-\frac{2}{x}$,$q(x)=xe^x$。然后求解齐次方程 $y'-\frac{2}{x}y=0$,即可得到其通解为 $y_h(x)=Cx^2$。接下来求特解 $y_p(x)$,可以猜测 $y_p(x)=Ax^3e^x$,然后代入原方程可得 $A=\frac{1}{6}$,因此 $y_p(x)=\frac{1}{6}x^3e^x$。于是原方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=Cx^2+\frac{1}{6}x^3e^x$。
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