求初值问题 dx/dt=Ax+B,x(0)=[001], 其中 A=[■(1&0&0@2&1&-2@3&2&1)],B=[█(0@0@e^t cos2t)]

这是一个线性常微分方程组的初值问题。其中，$A$ 和 $B$ 是已知矩阵，$x(0)$ 是已知向量。该问题的解可以表示为：

$$
x(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t-s)}B ds
$$

其中，$e^{At}$ 是矩阵指数函数，表示矩阵 $A$ 的指数形式。$e^{A(t-s)}$ 是同样的指数形式，只是时间变量不同。$\int_0^t e^{A(t-s)}B ds$ 是矩阵的积分，可以用数值方法进行计算。

将 $A$ 和 $B$ 的具体数值代入公式，可以得到：

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & -2 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
e^t \cos 2t
\end{bmatrix}
$$

将 $x(0)=[0\ 0\ 1]^T$ 代入公式，可以得到：

$$
x(t) = \begin{bmatrix}
e^t & -2e^t & 2e^t+4\sin 2t \\
2e^t & e^t-4e^{-2t} & 2e^t\sin 2t-4\cos 2t-3 \\
3e^t & 2e^t-4e^{-2t} & 3e^t\sin 2t-4\cos 2t-6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} +
\int_0^t
\begin{bmatrix}
e^{(t-s)} & 0 & 0 \\
2e^{(t-s)} & e^{(t-s)} & 0 \\
3e^{(t-s)} & 2e^{(t-s)} & e^{(t-s)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
e^s \cos 2s
\end{bmatrix}
ds
$$

这里的 $\int_0^t$ 表示从 $0$ 积分到 $t$。这个积分可以用数值方法计算，例如 Simpson 积分法。